Question

设 $p$ 和 $q$ 是满足下式的正数： $\begin{aligned} \log_9(p)&=\log_{12}(q)\\ &=\log_{16}(p+q) \end{aligned}$ 求 $\frac{q}{p}$ 的值。

Suppose that $p$ and $q$ are positive numbers for which $\begin{aligned} \log_9(p)&=\log_{12}(q)\\ &=\log_{16}(p+q). \end{aligned}$ What is the value of $\frac{q}{p}?$

$\frac43$

$\frac12(1+\sqrt3)$

$\frac85$

$\frac12(1+\sqrt5)$

$\frac{16}{9}$

答案：D

知识点：logarithms exponential equations quadratic equations

难度评级：2360

小提示：

将这些对数的公共值记为 $t$

Call the common logarithm value $t$

大提示：

若 $r=\frac{q}{p}$ ，比较 $(\frac{16}{9})^t$ 与 $(\frac{12}{9})^t$

If $r=\frac{q}{p},$ compare $(\frac{16}{9})^t$ with $(\frac{12}{9})^t$

解答：

设公共值为 $t$ 。则 $p=9^t,\ q=12^t$ ，且 $p+q=16^t$ 。令 $r=\frac{q}{p}=(\frac{4}{3})^t$ 。将最后一个等式两边除以 $p$ ，得 $\begin{aligned} 1+r&=(\frac{16}{9})^t\\ &=((\frac{4}{3})^t)^2=r^2 \end{aligned}\text{。}$ 因为 $r>0$ ，所以 $r=\frac{1+\sqrt5}{2}$ 。

因此，正确答案是 D。

Let the common value be $t.$ Then $p=9^t,\ q=12^t,$ and $p+q=16^t.$ Put $r=\frac{q}{p}=(\frac{4}{3})^t.$ Dividing the last equation by $p$ gives $\begin{aligned} 1+r&=(\frac{16}{9})^t\\ &=((\frac{4}{3})^t)^2=r^2. \end{aligned}$ Since $r>0,$ $r=\frac{1+\sqrt5}{2}.$

Thus the correct answer is D.

1988 AMC 12 第 26 题

答案：D

难度评级：2360

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题