Question

$(30)^4$ 的不同正整数因数中，除去 $1$ 和 $(30)^4$ 后，共有多少个？

The number of distinct positive integral divisors of $(30)^4$ excluding $1$ and $(30)^4$ is

$100$

$125$

$123$

$30$

以上皆非

none of these

答案：C

知识点：质因数分解因数个数

难度评级：1790

小提示：

将 $30^4$ 分解为 $2$ 、 $3$ 和 $5$ 的幂的乘积

Factor $30^4$ into powers of $2,$ $3,$ and $5$

大提示：

每个质因数的指数都可独立地从 $0$ 到 $4$ 中选择，最后去掉两个因数

Choose each prime exponent independently from $0$ through $4,$ then remove two divisors

解答：

因为 $30^4=2^4\cdot3^4\cdot5^4\text{，}$ 每个因数都可独立选择三个指数，每个指数取自 $0$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 。共有 $5^3=125$ 个因数。除去 $1$ 和 $30^4$ ，还剩 $125-2=123$ 个。

因此，正确答案是 C。

Because $30^4=2^4\cdot3^4\cdot5^4,$ a divisor independently chooses each of three exponents from $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4.$ There are $5^3=125$ divisors. Excluding $1$ and $30^4$ leaves $125-2=123.$

Therefore, the correct answer is C.

1974 AMC 12 第 26 题

答案：C

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题