Question

事件 $A$ 发生的概率为 $\frac34$ ；事件 $B$ 发生的概率为 $\frac23$ 。令 $p$ 为 $A$ 和 $B$ 都发生的概率。必定包含 $p$ 的最小区间是

The probability that event $A$ occurs is $\frac34;$ the probability that event $B$ occurs is $\frac23.$ Let $p$ be the probability that both $A$ and $B$ occur. The smallest interval necessarily containing $p$ is the interval

$[\frac1{12},\frac12]$

$[\frac5{12},\frac12]$

$[\frac12,\frac23]$

$[\frac5{12},\frac23]$

$[\frac1{12},\frac23]$

答案：D

知识点：容斥原理不等式

难度评级：2050

小提示：

对事件 $A$ 和 $B$ 应用容斥原理

Apply inclusion-exclusion to events $A$ and $B$

大提示：

将 $P(A\cup B)$ 限制在 $\max(P(A),P(B))$ 与 $1$ 之间

Bound $P(A\cup B)$ between $\max(P(A),P(B))$ and $1$

解答：

容斥原理给出 $\begin{aligned} p&=P(A\cap B)\\ &=\frac34+\frac23-P(A\cup B) \end{aligned}\text{。}$ 由于 $\frac{3}{4}\le P(A\cup B)\le1$ ，可得 $\frac5{12}\le p\le\frac23\text{。}$ 两个端点都能取到，所以这是必定成立的最小区间。

所以正确答案是 D。

Inclusion-exclusion gives $\begin{aligned} p&=P(A\cap B)\\ &=\frac34+\frac23-P(A\cup B). \end{aligned}$ Since $\frac{3}{4}\le P(A\cup B)\le1,$ it follows that $\frac5{12}\le p\le\frac23.$ Both endpoints can occur, so this is the smallest necessary interval.

Therefore, the correct answer is D.

1983 AMC 12 第 26 题

答案：D

难度评级：2050

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 26 题