Question

在一个晴天，一个大球体放在水平地面上。某一时刻，球体的影子从球体与地面的接触点起延伸 $10$ 米。同一时刻，一根米尺竖直放置，一端接触地面，投下长度为 $2$ 米的影子。该球体的半径是多少米？（假设太阳光线互相平行，并将米尺视为线段。）

A large sphere is on a horizontal field on a sunny day. At a certain time the shadow of the sphere reaches out a distance of $10$ m from the point where the sphere touches the ground. At the same instant a meter stick (held vertically with one end on the ground) casts a shadow of length $2$ m. What is the radius of the sphere in meters? (Assume the sun’s rays are parallel and the meter stick is a line segment.)

$\frac52$

$9-4\sqrt5$

$8\sqrt{10}-23$

$6-\sqrt{15}$

$10\sqrt5-20$

答案：E

知识点：球切线距离公式相似

难度评级：2310

小提示：

在竖直截面中，影子边界处的太阳光线与一个圆相切

In a vertical cross-section, the limiting sun ray is tangent to a circle

大提示：

米尺表明光线每水平前进 $2$ 个单位就竖直上升 $1$ 个单位

The meter stick shows that the ray rises $1$ unit for every $2$ horizontal units

解答：

以球体与地面的接触点为 $(0,0)$ ，圆心为 $(0,r)$ 。影子边界处的太阳光线经过影子端点 $(10,0)$ ，斜率为 $-\frac{1}{2}$ ，所以方程为 $x+2y-10=0$ 。相切意味着点 $(0,r)$ 到这条直线的距离等于 $r$ ： $\frac{10-2r}{\sqrt5}=r\text{。}$ 因此 $r=\frac{10}{2+\sqrt5}=10\sqrt5-20$ 。

所以正确答案是 E。

Take the sphere’s ground-contact point as $(0,0)$ and its center as $(0,r).$ The limiting sun ray passes through the shadow endpoint $(10,0)$ and has slope $-\frac{1}{2},$ so its equation is $x+2y-10=0.$ Tangency means the distance from $(0,r)$ to this line equals $r:$ $\frac{10-2r}{\sqrt5}=r.$ Hence $r=\frac{10}{2+\sqrt5}=10\sqrt5-20.$

Therefore, the correct answer is E.

1983 AMC 12 第 27 题

答案：E

难度评级：2310

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题