Question

一个等边三角形的高等于某圆的半径。该三角形的周长与内接于此圆的等边三角形周长之比为：

The ratio of the perimeter of an equilateral triangle having an altitude equal to the radius of a circle, to the perimeter of an equilateral triangle inscribed in the circle is:

$1:2$

$1:3$

$1:\sqrt3$

$\sqrt3:2$

$2:3$

答案：E

知识点：等边三角形圆比与比例

难度评级：1560

小提示：

用同一个圆的半径 $R$ 表示两个等边三角形的边长

Express each equilateral triangle’s side length in terms of the same circle radius $R$

大提示：

高为 $R$ 的等边三角形边长为 $\frac{2R}{\sqrt3}$ ，而内接等边三角形的边长为 $\sqrt3R$

An equilateral triangle of altitude $R$ has side $\frac{2R}{\sqrt3}$ , while an inscribed one has side $\sqrt3R$

解答：

边长为 $s$ 的等边三角形，其高为 $\frac{s\sqrt3}{2}$ 。因此，第一个三角形的边长为 $\frac{2R}{\sqrt3}$ ，周长为 $2\sqrt3R$ 。内接于半径为 $R$ 的圆的等边三角形边长为 $\sqrt3R$ ，周长为 $3\sqrt3R$ 。

因此，周长之比为 $2:3$ ，所以正确答案是 E。

An equilateral triangle with side $s$ has altitude $\frac{s\sqrt3}{2}.$ Thus the first triangle has side $\frac{2R}{\sqrt3}$ and perimeter $2\sqrt3R.$ An equilateral triangle inscribed in a circle of radius $R$ has side $\sqrt3R$ and perimeter $3\sqrt3R.$

The perimeter ratio is therefore $2:3,$ so the correct answer is E.

1952 AMC 12 第 27 题

答案：E

难度评级：1560

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题