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1979 AMC 12 第 27 题

先试着解答 1979 AMC 12 第 27 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1979 AMC 12 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

27.

从所有整数有序对 (b,c)(b,c) 中等可能地随机选取一对，其中两个整数的绝对值都不超过五。方程 x2+bx+c=0x^2+bx+c=0 没有两个不同的正实根的概率是多少？

An ordered pair (b,c)(b,c) of integers, each of which has absolute value less than or equal to five, is chosen at random, with each such ordered pair having an equal likelihood of being chosen. What is the probability that the equation x2+bx+c=0x^2+bx+c=0 will not have distinct positive real roots?

106121\frac{106}{121}

108121\frac{108}{121}

110121\frac{110}{121}

112121\frac{112}{121}

以上都不是

none of these

答案：E
知识点：二次方程对立事件概率系统列举
难度评级：2200
小提示：

有两个不同的正实根要求 b<0b\lt0、c>0c\gt0 且 b2>4cb^2\gt4c

Distinct positive roots require b<0,b\lt0, c>0,c\gt0, and b2>4cb^2\gt4c

大提示：

分别计算 b=−1b=-1、b=−2b=-2、…\ldots、b=−5b=-5 时符合条件的 cc 的个数，再从 121121 对中取补集

Count the qualifying cc values for each b=−1,b=-1, b=−2,b=-2, …,\ldots, b=−5,b=-5, then take the complement among 121121 pairs

解答：

共有 112=12111^2=121 个有序对。要有两个不同的正实根，必须有 b<0b\lt0、c>0c\gt0 且 b2>4cb^2\gt4c。当 b=−1b=-1 和 b=−2b=-2 时没有可选值；当 b=−3b=-3、b=−4b=-4 和 b=−5b=-5 时，分别有 22、33 和 55 个可选的 cc。因此只有 1010 个有序对会产生两个不同的正实根，所求概率为 1−10121=111121， 1-\frac{10}{121}=\frac{111}{121}\text{，}该数不在选项中。

因此，正确答案是 E。

There are 112=12111^2=121 ordered pairs. Distinct positive roots require b<0,b\lt0, c>0,c\gt0, and b2>4c.b^2\gt4c. For b=−1b=-1 and b=−2b=-2 there are no choices; for b=−3,b=-3, b=−4,b=-4, and b=−5b=-5 there are respectively 2,2, 3,3, and 55 choices of c.c. Thus only 1010 pairs produce distinct positive roots, so the requested probability is 1−10121=111121, 1-\frac{10}{121}=\frac{111}{121}, which is not listed.

Therefore, the correct answer is E.

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