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1955 AMC 12 第 27 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

27.

若 rr 和 ss 是方程 x2−px+q=0x^2-px+q=0 的根，则 r2+s2r^2+s^2 等于：

If rr and ss are the roots of x2−px+q=0,x^2-px+q=0, then r2+s2r^2+s^2 equals:

p2+2qp^2+2q

p2−2qp^2-2q

p2+q2p^2+q^2

p2−q2p^2-q^2

p2p^2

答案：B
知识点：Vieta formulassymmetric expressionsquadratic roots
难度评级：1260
小提示：

使用 r+s=pr+s=p 和 rs=qrs=q

Use r+s=pr+s=p and rs=qrs=q

大提示：

展开 (r+s)2(r+s)^2，再解出 r2+s2r^2+s^2

Expand (r+s)2(r+s)^2 and isolate r2+s2r^2+s^2

解答：

由韦达定理，r+s=pr+s=p，且 rs=qrs=q。因此 r2+s2=(r+s)2−2rs=p2−2q。 \begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=p^2-2q \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 B。

By Vieta’s formulas, r+s=pr+s=p and rs=q.rs=q. Therefore r2+s2=(r+s)2−2rs=p2−2q. \begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=p^2-2q. \end{aligned}

Thus, the correct answer is B.

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