Question

若 $p$ 、 $q$ 、 $r$ 是方程 $x^3-x^2+x-2=0$ 的三个不同根，则 $p^3+q^3+r^3$ 等于

If $p,$ $q,$ and $r$ are distinct roots of $x^3-x^2+x-2=0,$ then $p^3+q^3+r^3$ equals

$-1$

$1$

$3$

$5$

以上都不对

none of these

答案：E

知识点：多项式韦达定理牛顿恒等式

难度评级：1960

小提示：

用韦达定理求 $p+q+r$ 和 $pq+pr+qr$

Use Vieta to find $p+q+r$ and $pq+pr+qr$

大提示：

先计算 $p^2+q^2+r^2$ ，再将三个根所满足的方程相加

First compute $p^2+q^2+r^2,$ then add the three equations satisfied by the roots

解答：

由韦达定理得 $p+q+r=1$ 且 $pq+pr+qr=1$ 。因此 $\begin{aligned} p^2+q^2+r^2 &=(p+q+r)^2\\ &\quad-2(pq+pr+qr)\\ &=-1\text{。} \end{aligned}$ 每个根 $t$ 都满足 $t^3=t^2-t+2$ 。将三个根对应的等式相加，得到 $p^3+q^3+r^3=-1-1+6=4\text{。}$ 这个数不在选项 A 到 D 中。

因此，正确答案是 E。

Vieta gives $p+q+r=1$ and $pq+pr+qr=1.$ Thus $\begin{aligned} p^2+q^2+r^2 &=(p+q+r)^2\\ &\quad-2(pq+pr+qr)\\ &=-1. \end{aligned}$ Each root $t$ satisfies $t^3=t^2-t+2.$ Summing over the three roots yields $p^3+q^3+r^3=-1-1+6=4.$ This is not among choices A–D.

Therefore, the correct answer is E.

1975 AMC 12 第 27 题

答案：E

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题