Question

在附图中，三角形 $ABC$ 内接于一个圆。点 $D$ 位于 $\overset{\frown}{AC}$ 上，且 $\overset{\frown}{DC}=30^\circ$ ；点 $G$ 位于 $\overset{\frown}{BA}$ 上，且 $\overset{\frown}{BG}\gt\overset{\frown}{GA}$ 。边 $AB$ 和 $AC$ 的长度都等于弦 $DG$ 的长度，并且 $\angle CAB=30^\circ$ 。弦 $DG$ 与边 $AC$ 和 $AB$ 分别相交于 $E$ 和 $F$ 。 $\triangle AFE$ 的面积与 $\triangle ABC$ 的面积之比为

In the adjoining figure triangle $ABC$ is inscribed in a circle. Point $D$ lies on $\overset{\frown}{AC}$ with $\overset{\frown}{DC}=30^\circ,$ and point $G$ lies on $\overset{\frown}{BA}$ with $\overset{\frown}{BG}\gt\overset{\frown}{GA}.$ Side $AB$ and side $AC$ each have length equal to the length of chord $DG,$ and $\angle CAB=30^\circ.$ Chord $DG$ intersects sides $AC$ and $AB$ at $E$ and $F,$ respectively. The ratio of the area of $\triangle AFE$ to the area of $\triangle ABC$ is

$\frac{2-\sqrt3}{3}$

$\frac{2\sqrt3-3}{3}$

$7\sqrt3-12$

$3\sqrt3-5$

$\frac{9-5\sqrt3}{3}$

答案：C

知识点：弧弦面积比

难度评级：2260

小提示：

利用等弦找出相应的等弧和等腰三角形

Use equal chords to identify the relevant equal arcs and isosceles triangles

大提示：

令 $AB=AC=DG=1$ ，求 $AE$ 时利用一个 $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ 三角形

Normalize $AB=AC=DG=1$ and find $AE$ from a $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle

解答：

缩放使 $AB=AC=DG=1$ 。等弦对应的弧相等，由此可知三角形 $DEC$ 是 $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ 三角形，并且 $AE=DE$ 。令 $AE=DE=x$ 。则 $CE=1-x=\frac{2x}{\sqrt3}$ ，所以 $x=2\sqrt3-3$ 。等弦还给出 $AF=FG=EF=\frac{1-x}{2}$ 。因此 $\begin{aligned} \frac{[AFE]}{[ABC]} &=\frac{x(1-x)}2\\ &=7\sqrt3-12 \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 C。

Scale so $AB=AC=DG=1.$ The equal-chord arc relations show that triangle $DEC$ is $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ and $AE=DE.$ Put $AE=DE=x.$ Then $CE=1-x=\frac{2x}{\sqrt3},$ so $x=2\sqrt3-3.$ Equal chords also give $AF=FG=EF=\frac{1-x}{2}.$ Hence $\begin{aligned} \frac{[AFE]}{[ABC]} &=\frac{x(1-x)}2\\ &=7\sqrt3-12. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

1981 AMC 12 第 27 题

答案：C

难度评级：2260

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题