Question

在 $\triangle ABC$ 中， $D$ 在 $AC$ 上， $F$ 在 $BC$ 上。此外， $AB\perp AC$ 、 $AF\perp BC$ ，且 $BD=DC=FC=1$ 。求 $AC$ 。

In $\triangle ABC,$ $D$ is on $AC$ and $F$ is on $BC.$ Also, $AB\perp AC,$ $AF\perp BC,$ and $BD=DC=FC=1.$ Find $AC.$

$\sqrt2$

$\sqrt3$

$\sqrt[3]{2}$

$\sqrt[3]{3}$

$\sqrt[4]{3}$

答案：C

知识点：直角三角形相似余弦定理

难度评级：2350

小提示：

令 $AC=s$ ，并使用直角三角形中斜边与高的相似关系

Let $AC=s$ and use the altitude-to-hypotenuse similarity relation

大提示：

然后比较 $\cos\angle ACB$ 在直角三角形 $ABC$ 和等腰三角形 $BDC$ 中的表达式

Then compare $\cos\angle ACB$ in right triangle $ABC$ and isosceles triangle $BDC$

解答：

令 $AC=s$ 。由直角三角形的射影定理可得 $AC^2=FC\cdot BC\text{，}$ 所以 $BC=s^2$ 。由于 $BD=DC=1$ ，余弦定理中的分子和分母分别满足 $\begin{aligned} BC^2+DC^2-BD^2&=s^4,\\ 2(BC)(DC)&=2s^2 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\cos\angle BCD=\frac{s^2}{2}$ 。但 $D$ 在 $AC$ 上，并且在直角三角形 $ABC$ 中， $\cos\angle BCA=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{s}$ 。所以 $\frac{s^2}{2}=\frac{1}{s}$ ，从而 $s^3=2$ ，且 $AC=\sqrt[3]{2}$ 。

所以正确答案是 C。

Let $AC=s.$ The right-triangle projection relation gives $AC^2=FC\cdot BC,$ so $BC=s^2.$ Since $BD=DC=1,$ the numerator and denominator in the Law of Cosines satisfy $\begin{aligned} BC^2+DC^2-BD^2&=s^4,\\ 2(BC)(DC)&=2s^2. \end{aligned}$ Hence $\cos\angle BCD=\frac{s^2}{2}.$ But $D$ lies on $AC,$ and in right triangle $ABC,$ $\cos\angle BCA=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{s}.$ Thus $\frac{s^2}{2}=\frac{1}{s},$ so $s^3=2$ and $AC=\sqrt[3]{2}.$

Therefore, the correct answer is C.

1984 AMC 12 第 27 题

答案：C

难度评级：2350

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题