Question

设 $z=a+bi$ 是多项式方程 $\begin{aligned} c_4z^4+ic_3z^3+c_2z^2\\ {}+ic_1z+c_0=0 \end{aligned}$ 的一个解，其中 $c_0$ 、 $c_1$ 、 $c_2$ 、 $c_3$ 、 $c_4$ 、 $a$ 和 $b$ 为实常数，且 $i^2=-1$ 。下列哪一项也必定是该方程的解？

Suppose $z=a+bi$ is a solution of the polynomial equation $\begin{aligned} c_4z^4+ic_3z^3+c_2z^2\\ {}+ic_1z+c_0=0, \end{aligned}$ where $c_0,$ $c_1,$ $c_2,$ $c_3,$ $c_4,$ $a,$ and $b$ are real constants and $i^2=-1.$ Which one of the following must also be a solution?

$-a-bi$

$a-bi$

$-a+bi$

$b+ai$

以上都不是

none of these

答案：C

知识点：复数对称性（代数）多项式

难度评级：2090

小提示：

对整个方程取共轭

Conjugate the entire equation

大提示：

比较以 $\bar z$ 表示的共轭方程与原多项式在 $-\bar z$ 处的值

Compare the conjugated equation at $\bar z$ with the original polynomial evaluated at $-\bar z$

解答：

对方程取共轭后，每个 $i$ 都变为 $-i$ ，且 $z$ 变为 $\bar z$ 。由于自变量取相反数时，奇次幂项也会改变符号，所以这个共轭方程恰好就是原多项式在 $-\bar z$ 处取值为零。因此 $-\bar z=-a+bi$ 必定是一个根。

因此，正确答案为 C。

Conjugating the equation changes each $i$ to $-i$ and $z$ to $\bar z.$ Because the odd-powered terms also change sign when the input is negated, this conjugated equation is precisely the original polynomial evaluated at $-\bar z.$ Thus $-\bar z=-a+bi$ must be a root.

Therefore, the correct answer is C.

1982 AMC 12 第 27 题

答案：C

难度评级：2090

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题