Question

在三角形 $ABC$ 中， $3\sin A + 4\cos B = 6$ ，且 $4\sin B + 3\cos A = 1$ 。则 $\angle C$ 的度数为

In triangle $ABC,$ $3\sin A + 4\cos B = 6$ and $4\sin B + 3\cos A = 1.$ Then $\angle C$ in degrees is

$30$

$60$

$90$

$120$

$150$

答案：A

知识点：三角恒等式方程组

难度评级：2120

小提示：

将两个方程分别平方后相加。

Square both equations and add them

大提示：

使用 $\sin^2 + \cos^2 = 1$ 得到 $\sin(A + B)$ ，再排除一种情况。

Use $\sin^2 + \cos^2 = 1$ to get $\sin(A + B),$ then rule out one case

解答：

将两个方程平方后相加： $\begin{aligned} &9 + 16 \\ &\quad {}+ 24\small(\sin A \cos B + \cos A \sin B) \\ &\quad = 37\text{，} \end{aligned}$ 因此 $24\sin(A + B) = 12$ ，所以 $\sin(A + B) = \tfrac12$ 。

因为第三个内角与前两个内角之和互补，所以 $\sin C = \sin(A + B) = \tfrac12$ ，即 $\angle C = 30^\circ$ 或 $150^\circ$ 。若 $\angle C = 150^\circ$ ，则 $A \lt 30^\circ$ ，会使 $3\sin A + 4\cos B \lt 6$ ，产生矛盾。因此 $\angle C = 30^\circ$ 。

所以正确答案是 A。

Squaring both equations and adding gives $\begin{aligned} &9 + 16 \\ &\quad {}+ 24\small(\sin A \cos B + \cos A \sin B) \\ &\quad = 37, \end{aligned}$ so $24\sin(A + B) = 12$ and $\sin(A + B) = \tfrac12.$

Then $\sin C = \sin(A + B) = \tfrac12,$ so $\angle C = 30^\circ$ or $150^\circ.$ If $\angle C = 150^\circ,$ then $A \lt 30^\circ,$ making $3\sin A + 4\cos B \lt 6,$ a contradiction. Hence $\angle C = 30^\circ.$

Thus, the correct answer is A.

1999 AMC 12 第 27 题

答案：A

难度评级：2120

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题