Question

设 $x_1$ ， $x_2$ ， $\ldots$ ， $x_n$ 是一个整数序列，满足：

(i) $-1 \le x_i \le 2$ ，其中 $i = 1$ ， $2$ ， $3$ ， $\ldots$ ， $n$ ；

(ii) $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 19$ ；

(iii) $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 99$ 。

令 $m$ 和 $M$ 分别为 $x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_n^3$ 的最小和最大可能值。求 $\dfrac{M}{m}$ 。

Let $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_n$ be a sequence of integers such that

(i) $-1 \le x_i \le 2,$ for $i = 1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $n$ ;

(ii) $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 19;$ and

(iii) $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 99.$

Let $m$ and $M$ be the minimal and maximal possible values of $x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_n^3,$ respectively. What is $\dfrac{M}{m}?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

答案：E

知识点：方程组最优化

难度评级：2240

小提示：

令 $a, b, c$ 分别表示 $-1$ 、 $1$ 、 $2$ 的个数，零不影响总和。

Let $a, b, c$ count the $-1$ s, $1$ s, and $2$ s (zeros do not matter)

大提示：

立方和为 $-a + b + 8c = 19 + 6c$ ；对允许的 $c$ 范围取极值。

The sum of cubes is $-a + b + 8c = 19 + 6c;$ optimize over the allowed range of $c$

解答：

设 $a, b, c$ 分别为 $-1$ 、 $1$ 、 $2$ 的个数。则 $-a + b + 2c = 19$ ，且 $a + b + 4c = 99$ ，解得 $a = 40 - c$ 、 $b = 59 - 3c$ ，并且 $0 \le c \le 19$ 。

立方和为 $-a + b + 8c = 19 + 6c$ 。最小值在 $c = 0$ 时为 $19$ ，最大值在 $c = 19$ 时为 $133$ 。因此 $\dfrac{M}{m} = \dfrac{133}{19} = 7$ 。

所以正确答案是 E。

Let $a, b, c$ be the numbers of $-1$ s, $1$ s, and $2$ s. Then $-a + b + 2c = 19$ and $a + b + 4c = 99,$ giving $a = 40 - c$ and $b = 59 - 3c$ with $0 \le c \le 19.$

The sum of cubes is $-a + b + 8c = 19 + 6c.$ The minimum is at $c = 0$ (value $19$ ) and the maximum at $c = 19$ (value $133$ ), so $\dfrac{M}{m} = \dfrac{133}{19} = 7.$

Thus, the correct answer is E.

1999 AMC 12 第 28 题

答案：E

难度评级：2240

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题