Question

第一个圆的半径为 $1$ 英寸，第二个为 $\dfrac12$ 英寸，第三个为 $\dfrac14$ 英寸，如此无限继续。所有圆的面积之和为：

The radius of the first circle is $1$ inch, that of the second $\dfrac12$ inch, that of the third $\dfrac14$ inch and so on indefinitely. The sum of the areas of the circles is:

$\dfrac{3\pi}{4}$

$1.3\pi$

$2\pi$

$\dfrac{4\pi}{3}$

以上答案均不正确

none of these

答案：D

知识点：圆面积 infinite geometric series

难度评级：1420

小提示：

将每个半径平方后，公比也随之改变

Squaring each radius changes the common ratio

大提示：

各圆面积构成首项为 $\pi$ 、公比为 $\frac{1}{4}$ 的等比级数

The areas form a geometric series with first term $\pi$ and ratio $\frac{1}{4}$

解答：

各圆面积依次为 $\pi,\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{16},\ldots$ 因此它们的和为 $\frac{\pi}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4\pi}{3}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

The areas are $\pi,\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{16},\ldots$ Therefore their sum is $\frac{\pi}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4\pi}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

1953 AMC 12 第 27 题

答案：D

难度评级：1420

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题