Question

在右图中， $AB$ 是圆的直径， $CD$ 是一条平行于 $AB$ 的弦，且 $AC$ 与 $BD$ 相交于 $E$ ，其中 $\angle AED=\alpha$ 。三角形 $\triangle CDE$ 与三角形 $\triangle ABE$ 的面积之比为

In the adjoining figure, $AB$ is a diameter of the circle, $CD$ is a chord parallel to $AB,$ and $AC$ intersects $BD$ at $E,$ with $\angle AED=\alpha.$ The ratio of the area of $\triangle CDE$ to that of $\triangle ABE$ is

$\cos\alpha$

$\sin\alpha$

$\cos^2\alpha$

$\sin^2\alpha$

$1-\sin\alpha$

答案：C

知识点：圆 intersecting chords 三角形面积三角学

难度评级：2320

小提示：

用在 $E$ 点相交的两条边表示各三角形的面积

Express each triangle’s area using the two sides meeting at $E$

大提示：

使用相交弦定理，然后连接 $AD$ ，并利用直径 $AB$ 所形成的直角三角形

Use the intersecting-chords theorem, then draw $AD$ and use the right triangle created by diameter $AB$

解答：

两个三角形在 $E$ 点所用的角相同，所以 $\frac{[CDE]}{[ABE]} =\frac{CE\cdot DE}{AE\cdot BE}\text{。}$ 由相交弦定理， $AE\cdot CE=BE\cdot DE$ ，所以这个比值化为 $(\frac{DE}{AE})^2$ 。连接 $AD$ 。由于 $AB$ 是直径， $\angle ADB=90^\circ$ ，且 $D,E,B$ 三点共线。因此三角形 $ADE$ 在 $D$ 点为直角，并且 $\frac{DE}{AE}=\cos\alpha$ 。所求比值为 $\cos^2\alpha$ 。

因此正确答案是 C。

The triangles use the same angle at $E,$ so $\frac{[CDE]}{[ABE]} =\frac{CE\cdot DE}{AE\cdot BE}.$ Intersecting chords give $AE\cdot CE=BE\cdot DE,$ so this ratio becomes $(\frac{DE}{AE})^2.$ Draw $AD.$ Since $AB$ is a diameter, $\angle ADB=90^\circ,$ and $D,E,B$ are collinear. Thus triangle $ADE$ is right at $D,$ and $\frac{DE}{AE}=\cos\alpha.$ The required ratio is $\cos^2\alpha.$

Thus the correct answer is C.

1986 AMC 12 第 27 题

答案：C

难度评级：2320

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 27 题