Question

$ABCDE$ 是正五边形。 $AP$ 、 $AQ$ 和 $AR$ 分别是从 $A$ 点向 $CD$ 、 $CB$ 的延长线和 $DE$ 的延长线所作的垂线。设 $O$ 为该五边形的中心。若 $OP=1$ ，则 $AO+AQ+AR$ 等于

$ABCDE$ is a regular pentagon. $AP,$ $AQ$ and $AR$ are the perpendiculars dropped from $A$ onto $CD,$ $CB$ extended and $DE$ extended, respectively. Let $O$ be the center of the pentagon. If $OP=1,$ then $AO+AQ+AR$ equals

$3$

$1+\sqrt5$

$4$

$2+\sqrt5$

$5$

答案：C

知识点：regular pentagon 面积分割高线

难度评级：2320

小提示：

设边长为 $s$ ，利用以中心为顶点的五个三角形计算五边形的面积

Let $s$ be the side length and compute the pentagon’s area from its five central triangles

大提示：

也可将五边形分成三角形 $ABC$ 、 $ACD$ 和 $ADE$ ，其高分别为 $AQ,AP,AR$

Also split the pentagon into triangles $ABC,$ $ACD$ and $ADE$ with altitudes $AQ,AP,AR$

解答：

设边长为 $s$ 。由于边心距 $OP=1$ ，由以中心为顶点的五个三角形可得五边形的面积为 $\frac{5s}{2}$ 。同一个五边形也是三角形 $ABC$ 、 $ACD$ 和 $ADE$ 的并，这三个三角形以五边形边长为底时的高分别为 $AQ,AP,AR$ 。因此 $\frac{s}{2}(AQ+AP+AR)=\frac{5s}{2}\text{，}$ 所以 $AQ+AP+AR=5$ 。此外， $AP=AO+OP=AO+1$ 。因此 $AO+AQ+AR=4$ 。

因此正确答案是 C。

Let the side length be $s.$ Since the apothem $OP=1,$ the five central triangles give pentagon area $\frac{5s}{2}.$ The same pentagon is the union of triangles $ABC,$ $ACD$ and $ADE,$ whose respective altitudes to side-length bases are $AQ,AP,AR.$ Hence $\frac{s}{2}(AQ+AP+AR)=\frac{5s}{2},$ so $AQ+AP+AR=5.$ Also $AP=AO+OP=AO+1.$ Therefore $AO+AQ+AR=4.$

Thus the correct answer is C.

1986 AMC 12 第 28 题

答案：C

难度评级：2320

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题