Question

在三角形 $ABC$ 中，角 $C$ 是直角且 $CB\gt CA$ 。点 $D$ 位于 $\overline{BC}$ 上，使得角 $CAD$ 是角 $DAB$ 的两倍。若 $\frac{AC}{AD}=\frac{2}{3}$ ，则 $\frac{CD}{BD}=\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。

In triangle $ABC,$ angle $C$ is a right angle and $CB\gt CA.$ Point $D$ is located on $\overline{BC}$ so that angle $CAD$ is twice angle $DAB.$ If $\frac{AC}{AD}=\frac{2}{3},$ then $\frac{CD}{BD}=\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n.$

$10$

$14$

$18$

$22$

$26$

答案：B

知识点：三角学 angle multiplication

难度评级：2290

小提示：

设 $\angle DAB=\alpha$ ，则 $\angle CAB=3\alpha$ ，且 $\cos2\alpha=\frac{AC}{AD}$

Let $\angle DAB=\alpha$ , so $\angle CAB=3\alpha$ and $\cos2\alpha=\frac{AC}{AD}$

大提示：

令 $AC=1$ ，再用 $\tan2\alpha$ 和 $\tan3\alpha$ 分别表示 $CD$ 和 $CB$

Set $AC=1$ and express $CD$ and $CB$ using $\tan2\alpha$ and $\tan3\alpha$

解答：

设 $\angle DAB=\alpha$ 。因为 $\frac{AC}{AD}=\cos2\alpha=\frac{2}{3}$ ，由 $\cos2\alpha$ 的恒等式可得 $\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt5}$ 。取 $AC=1$ ，则 $\begin{aligned} CD&=\tan2\alpha=\frac{\sqrt5}{2},\\ CB&=\tan3\alpha=\frac{7\sqrt5}{5} \end{aligned}\text{。}$ 因此 $BD=CB-CD=\frac{9\sqrt5}{10}$ ，且 $\frac{CD}{BD}=\frac{5}{9}$ 。所以 $m+n=14$ ，正确答案是 B。

Let $\angle DAB=\alpha.$ Since $\frac{AC}{AD}=\cos2\alpha=\frac{2}{3},$ the identity for $\cos2\alpha$ gives $\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt5}.$ Taking $AC=1,$ $\begin{aligned} CD&=\tan2\alpha=\frac{\sqrt5}{2},\\ CB&=\tan3\alpha=\frac{7\sqrt5}{5}. \end{aligned}$ Thus $BD=CB-CD=\frac{9\sqrt5}{10},$ and $\frac{CD}{BD}=\frac{5}{9}.$ Therefore $m+n=14,$ so B is correct.

1998 AMC 12 第 28 题

答案：B

难度评级：2290

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题