Question

在 $\triangle ABC$ 中， $\angle C=3\angle A$ 、 $a=27$ ，且 $c=48$ 。求 $b$ 。

In $\triangle ABC,$ we have $\angle C=3\angle A,$ $a=27$ and $c=48.$ What is $b?$

$33$

$35$

$37$

$39$

不能唯一确定

not uniquely determined

答案：B

知识点：正弦定理三角恒等式

难度评级：2460

小提示：

用正弦定理写出 $\frac{48}{27}=\frac{\sin3A}{\sin A}$

Use the sine law to write $\frac{48}{27}=\frac{\sin3A}{\sin A}$

大提示：

求出 $\cos A$ 后，使用 $B=180^\circ-4A$ 和 $\sin4A=4\sin A\cos A\cos2A$

After finding $\cos A,$ use $B=180^\circ-4A$ and $\sin4A=4\sin A\cos A\cos2A$

解答：

由正弦定理和三倍角公式， $\frac{48}{27} =\frac{\sin3A}{\sin A} =3-4\sin^2A\text{。}$ 因此 $\sin^2A=\frac{11}{36}$ 。由于 $A\lt60^\circ$ ， $\cos A=\frac{5}{6}$ ，从而 $\cos2A=\frac{7}{18}$ 。又有 $B=180^\circ-4A$ ，再次使用正弦定理，得到 $\begin{aligned} b &=27\frac{\sin B}{\sin A}\\ &=27\frac{\sin4A}{\sin A}\\ &=27\cdot4\cos A\cos2A\\ &=35\text{。} \end{aligned}$ 所以正确答案是 B。

By the sine law and the triple-angle identity, $\frac{48}{27} =\frac{\sin3A}{\sin A} =3-4\sin^2A.$ Hence $\sin^2A=\frac{11}{36}.$ Since $A\lt60^\circ,$ $\cos A=\frac{5}{6},$ and therefore $\cos2A=\frac{7}{18}.$ Also $B=180^\circ-4A,$ so another application of the sine law gives $\begin{aligned} b &=27\frac{\sin B}{\sin A}\\ &=27\frac{\sin4A}{\sin A}\\ &=27\cdot4\cos A\cos2A\\ &=35. \end{aligned}$ Thus the correct answer is B.

1985 AMC 12 第 28 题

答案：B

难度评级：2460

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题