Question

直线 $L_1$ 、 $L_2$ 、 $\ldots$ 、 $L_{100}$ 两两不同。所有直线 $L_{4n}$ （其中 $n$ 为正整数）彼此平行。所有直线 $L_{4n-3}$ （其中 $n$ 为正整数）都经过给定点 $A$ 。完整集合 $\{L_1,L_2,\ldots,L_{100}\}$ 中任意两条直线的交点数最大为

Lines $L_1,$ $L_2,$ $\ldots,$ $L_{100}$ are distinct. All lines $L_{4n},$ $n$ a positive integer, are parallel to each other. All lines $L_{4n-3},$ $n$ a positive integer, pass through a given point $A.$ The maximum number of points of intersection of pairs of lines from the complete set $\{L_1,L_2,\ldots,L_{100}\}$ is

$4350$

$4351$

$4900$

$4901$

$9851$

答案：B

知识点：交点计数组合双重计数

难度评级：2320

小提示：

先从一般位置下的 $\binom{100}{2}$ 个交点开始

Start with $\binom{100}{2}$ intersections in general position

大提示：

去掉 $25$ 条平行线之间的线对，并把 $25$ 条共点直线之间的所有线对合并成一个点

Remove the pairs among the $25$ parallel lines and collapse the pairs among the $25$ concurrent lines to one point

解答：

能被 $4$ 整除的下标有 $25$ 个，与 $1\pmod4$ 同余的下标也有 $25$ 个。从 $\binom{100}{2}=4950$ 个交点出发，平行线组不产生交点，因此减去 $\binom{25}{2}=300$ 。共点线组的 $300$ 对直线只产生一个点，而不是 $300$ 个不同的点，因此再减去 $299$ 。其余交点都可以选成互不相同，所以最大值为 $4950-300-299=4351\text{。}$

所以正确答案是 B。

There are $25$ indices divisible by $4$ and $25$ congruent to $1\pmod4.$ Starting from $\binom{100}{2}=4950,$ the parallel group contributes no intersections, removing $\binom{25}{2}=300.$ The concurrent group’s $300$ pairs all give one point rather than $300$ distinct points, removing another $299.$ All remaining intersections can be chosen distinct, so the maximum is $4950-300-299=4351.$

Therefore, the correct answer is B.

1976 AMC 12 第 28 题

答案：B

难度评级：2320

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题