Question

在 $xy$ 平面内，坐标为整数 $(x,y)$ 且满足 $1\le x\le4$ 、 $1\le y\le4$ 的点作为顶点，可以组成多少个面积为正的三角形？

How many triangles with positive area are there whose vertices are points in the $xy$ -plane whose coordinates are integers $(x,y)$ satisfying $1\le x\le4$ and $1\le y\le4?$

$496$

$500$

$512$

$516$

$560$

答案：D

知识点：lattice points 组合 collinear triples

难度评级：2260

小提示：

从全部 $\binom{16}{3}$ 个三点组开始，减去三点共线的情形。

Start with all $\binom{16}{3}$ triples and subtract collinear ones

大提示：

三个格点共线时，只可能位于水平线、竖直线或斜率为 $\pm1$ 的对角线上。

Three collinear grid points can occur only horizontally, vertically, or on a slope- $\pm1$ diagonal

解答：

共有 $\binom{16}{3}=560$ 个格点三元组。四行和四列贡献了 $8\binom43=32$ 个共线三元组。对斜率 $1$ ，能容纳三个点的对角线长度依次为 $3$ 、 $4$ 、 $3$ ，贡献 $\binom33+\binom43+\binom33=6$ 个；斜率 $-1$ 再贡献 $6$ 个。在一个 $4$ 乘 $4$ 的点阵中，其他斜率都不能容纳三个格点。因此面积为正的三角形数为 $560-32-6-6=516$ 。故正确答案是 D。

There are $\binom{16}{3}=560$ triples of grid points. The four rows and four columns contribute $8\binom43=32$ collinear triples. For slope $1,$ the diagonal lengths capable of containing three points are $3,$ $4,$ $3,$ contributing $\binom33+\binom43+\binom33=6;$ slope $-1$ contributes another $6.$ No other slope fits three lattice points inside a $4$ -by- $4$ point array. Thus the number of positive-area triangles is $560-32-6-6=516.$ Thus the correct answer is D.

1993 AMC 12 第 28 题

答案：D

难度评级：2260

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题