Question

对所有形如 $x=\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{3^2}+\cdots+\frac{a_{25}}{3^{25}}$ 的数 $x$ ，以下哪一项恒成立？其中 $a_1$ 为 $0$ 或 $2$ ， $a_2$ 为 $0$ 或 $2$ ， $\ldots$ ， $a_{25}$ 为 $0$ 或 $2$ 。

Which of the following is satisfied by all numbers $x$ of the form $x=\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{3^2}+\cdots+\frac{a_{25}}{3^{25}},$ where $a_1$ is $0$ or $2,$ $a_2$ is $0$ or $2,$ $\ldots,$ $a_{25}$ is $0$ or $2?$

$0\le x\lt\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}\le x\lt\frac{2}{3}$

$\frac{2}{3}\le x\lt1$

$0\le x\lt\frac{1}{3}$ 或 $\frac{2}{3}\le x\lt1$

$0\le x\lt\frac{1}{3}$ or $\frac{2}{3}\le x\lt1$

$\frac{1}{2}\le x\le\frac{3}{4}$

答案：D

知识点：进制等比数列极限情形界定

难度评级：2090

小提示：

分别考虑 $a_1=0$ 和 $a_1=2$ 两种情形

Separate the cases $a_1=0$ and $a_1=2$

大提示：

用无穷等比数列的尾和 $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{3^n}$ 估计其余各项

Bound the remaining terms by the infinite geometric tail $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{3^n}$

解答：

若 $a_1=0$ ，则 $0\le x\le\sum_{n=2}^{25}\frac2{3^n} \lt\sum_{n=2}^{\infty}\frac2{3^n}=\frac13\text{。}$ 若 $a_1=2$ ，则 $x\ge\frac{2}{3}$ ，同时 $x\le\sum_{n=1}^{25}\frac2{3^n} \lt\sum_{n=1}^{\infty}\frac2{3^n}=1\text{。}$ 因此，每个这样的 $x$ 都位于所述两个外侧三等分区间之一。

因此，正确答案是 D。

If $a_1=0,$ then $0\le x\le\sum_{n=2}^{25}\frac2{3^n} \lt\sum_{n=2}^{\infty}\frac2{3^n}=\frac13.$ If $a_1=2,$ then $x\ge\frac{2}{3},$ while $x\le\sum_{n=1}^{25}\frac2{3^n} \lt\sum_{n=1}^{\infty}\frac2{3^n}=1.$ Hence every such $x$ lies in one of the two stated outer thirds.

Therefore, the correct answer is D.

1974 AMC 12 第 28 题

答案：D

难度评级：2090

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题