Question

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 为实数。假设方程 $z^4+az^3+bz^2+cz+d=0$ 的所有根都是复数，并且都位于复平面上以 $0+0i$ 为圆心、半径为 $1$ 的圆上。所有根的倒数之和必定为

Let $a,$ $b,$ $c,$ $d$ be real numbers. Suppose that all the roots of $z^4+az^3+bz^2+cz+d=0$ are complex numbers lying on a circle in the complex plane centered at $0+0i$ and having radius $1.$ The sum of the reciprocals of the roots is necessarily

$a$

$b$

$c$

$-a$

$-b$

答案：D

知识点：complex conjugates unit circle Vieta’s formulas

难度评级：2340

小提示：

对于单位圆上的复数 $r$ ，比较 $\frac{1}{r}$ 与 $\overline r$

For a complex number $r$ on the unit circle, compare $\frac{1}{r}$ with $\overline r$

大提示：

多项式的系数都是实数，因此所有根的和是实数

Real polynomial coefficients make the sum of the roots real

解答：

若 $|r|=1$ ，则 $\frac{1}{r}=\overline r$ 。所以所有根的倒数之和，就是所有根之和的共轭。根据韦达定理，所有根之和为 $-a$ ，这是实数，其共轭仍为 $-a$ 。

因此，正确答案是 D。

If $|r|=1,$ then $\frac{1}{r}=\overline r.$ Therefore the sum of the reciprocals is the conjugate of the sum of the roots. By Vieta’s formulas, the sum of the roots is $-a,$ which is real. Its conjugate is still $-a.$

Thus the correct answer is D.

1987 AMC 12 第 28 题

答案：D

难度评级：2340

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题