Question

一枚不均匀硬币在一次投掷中正面朝上的概率为 $p$ 。设 $w$ 为独立投掷这枚硬币 $5$ 次时恰好出现 $3$ 次正面的概率。若 $w=\frac{144}{625}$ ，则

An unfair coin has probability $p$ of coming up heads on a single toss. Let $w$ be the probability that, in $5$ independent tosses of this coin, heads come up exactly $3$ times. If $w=\frac{144}{625},$ then

$p$ 必须为 $\frac{2}{5}$

$p$ must be $\frac{2}{5}$

$p$ 必须为 $\frac{3}{5}$

$p$ must be $\frac{3}{5}$

$p$ 必须大于 $\frac{3}{5}$

$p$ must be greater than $\frac{3}{5}$

$p$ 不能唯一确定

$p$ is not uniquely determined

不存在任何 $p$ ，使 $w=\frac{144}{625}$ 成立

there is no value of $p$ for which $w=\frac{144}{625}$

答案：D

知识点：二项概率 continuity nonunique solutions

难度评级：2360

小提示：

利用二项式系数将 $w$ 写成 $p$ 的函数

Write $w$ as a function of $p$ using the binomial coefficient

大提示：

先检验一个简单的值，再比较该函数在 $p=\frac{3}{5}$ 和 $p=1$ 时的值

Check one simple value, then compare the function at $p=\frac{3}{5}$ and $p=1$

解答：

这里 $w(p)=10p^3(1-p)^2$ 。当 $p=\frac{2}{5}$ 时， $w=10\left(\frac25\right)^3\left(\frac35\right)^2 =\frac{144}{625}\text{。}$ 此外， $w(\frac{3}{5})=\frac{216}{625}>\frac{144}{625}$ ，而 $w(1)=0$ 。由连续性可知，在 $\frac{3}{5}$ 与 $1$ 之间还有另一个解。因此 $p$ 不能唯一确定。

因此，正确答案是 D。

Here $w(p)=10p^3(1-p)^2.$ At $p=\frac{2}{5},$ $w=10\left(\frac25\right)^3\left(\frac35\right)^2 =\frac{144}{625}.$ Also $w(\frac{3}{5})=\frac{216}{625}>\frac{144}{625},$ while $w(1)=0.$ By continuity there is another solution between $\frac{3}{5}$ and $1.$ Hence $p$ is not unique.

Thus the correct answer is D.

1988 AMC 12 第 28 题

答案：D

难度评级：2360

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题