Question

若 $\triangle A_1A_2A_3$ 是等边三角形，且对所有正整数 $n$ ， $A_{n+3}$ 都是线段 $A_nA_{n+1}$ 的中点，则 $\angle A_{44}A_{45}A_{43}$ 的度数等于

If $\triangle A_1A_2A_3$ is equilateral and $A_{n+3}$ is the midpoint of line segment $A_nA_{n+1}$ for all positive integers $n,$ then the measure of $\angle A_{44}A_{45}A_{43}$ equals

$30^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

$90^\circ$

$120^\circ$

答案：E

知识点：中点递推向量

难度评级：2200

小提示：

令 $\mathbf d_n=\overrightarrow{A_nA_{n+1}}$ ，并推导这些向量的递推关系

Let $\mathbf d_n=\overrightarrow{A_nA_{n+1}}$ and derive a recurrence for these vectors

大提示：

证明 $\mathbf d_{n+4}=-\frac14\mathbf d_n$ ，从而把所求角化归到前几个点构成的角

Show that $\mathbf d_{n+4}=-\frac14\mathbf d_n,$ reducing the requested angle to one among the first few points

解答：

令 $\mathbf d_n=\overrightarrow{A_nA_{n+1}}$ 。由中点关系可得 $\mathbf d_{n+3}=\frac12(\mathbf d_n+\mathbf d_{n+1})$ ，并且 $\mathbf d_n+\mathbf d_{n+1}+\mathbf d_{n+2}=\frac12\mathbf d_n$ 。因此， $\begin{aligned} \mathbf d_{n+4} &=\frac12(\mathbf d_{n+1}+\mathbf d_{n+2})\\ &=-\frac14\mathbf d_n\text{。} \end{aligned}$ 所以 $\mathbf d_{43}$ 和 $\mathbf d_{44}$ 分别是 $\mathbf d_3$ 和 $\mathbf d_4$ 的同一正数倍，故 $\angle A_{44}A_{45}A_{43}=\angle A_4A_5A_3$ 。由于 $A_4$ 和 $A_5$ 分别是 $A_1A_2$ 和 $A_2A_3$ 的中点，所以 $A_4A_5\parallel A_1A_3$ 。再利用等边三角形的角，可得 $\angle A_4A_5A_3=120^\circ$ 。

因此，正确答案是 E。

Let $\mathbf d_n=\overrightarrow{A_nA_{n+1}}.$ The midpoint rule gives $\mathbf d_{n+3}=\frac12(\mathbf d_n+\mathbf d_{n+1})$ and also $\mathbf d_n+\mathbf d_{n+1}+\mathbf d_{n+2}=\frac12\mathbf d_n.$ Consequently, $\begin{aligned} \mathbf d_{n+4} &=\frac12(\mathbf d_{n+1}+\mathbf d_{n+2})\\ &=-\frac14\mathbf d_n. \end{aligned}$ Thus $\mathbf d_{43}$ and $\mathbf d_{44}$ are the same positive scalar multiple of $\mathbf d_3$ and $\mathbf d_4,$ respectively, so $\angle A_{44}A_{45}A_{43}=\angle A_4A_5A_3.$ Since $A_4$ and $A_5$ are the midpoints of $A_1A_2$ and $A_2A_3,$ $A_4A_5\parallel A_1A_3.$ The equilateral-triangle angles then give $\angle A_4A_5A_3=120^\circ.$

Therefore, the correct answer is E.

1978 AMC 12 第 28 题

答案：E

难度评级：2200

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题