Question

图中的三角形 $ABC$ 面积为 $10$ 。互不相同且都不同于 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别位于边 $AB$ 、 $BC$ 、 $CA$ 上，并且 $AD=2$ 、 $DB=3$ 。若三角形 $ABE$ 与四边形 $DBEF$ 的面积相等，则该面积为

Triangle $ABC$ in the figure has area $10.$ Points $D,$ $E$ and $F,$ all distinct from $A,$ $B$ and $C,$ are on sides $AB,$ $BC$ and $CA$ respectively, and $AD=2,$ $DB=3.$ If triangle $ABE$ and quadrilateral $DBEF$ have equal areas, then that area is

$4$

$5$

$6$

$\frac53\sqrt{10}$

无法唯一确定

not uniquely determined

答案：C

知识点：三角形面积面积分割相似

难度评级：2340

小提示：

作 $DE$ ，再从两个相等的面积中消去公共三角形 $DBE$

Draw $DE$ and cancel the common triangle $DBE$ from the equal areas

大提示：

三角形 $ADE$ 与 $FDE$ 面积相等，推出 $AF\parallel DE$ ；然后比较三角形 $DBE$ 与 $ABC$

Equal areas of $ADE$ and $FDE$ imply $AF\parallel DE$ ; then compare triangles $DBE$ and $ABC$

解答：

作 $DE$ 。由 $\begin{aligned} [ABE]&=[ADE]+[DBE],\\ [DBEF]&=[FDE]+[DBE] \end{aligned}\text{，}$ 可知面积相等意味着 $[ADE]=[FDE]$ 。它们共有底 $DE$ ，所以 $AF\parallel DE$ ，从而三角形 $DBE$ 与 $ABC$ 相似。因此 $\frac{BE}{BC}=\frac{DB}{AB}=\frac{3}{5}$ 。三角形 $ABE$ 与 $ABC$ 共有从 $A$ 到 $BC$ 的高，所以 $[ABE]=(\frac{3}{5})[ABC]=6$ 。

所以正确答案是 C。

Draw $DE.$ From $\begin{aligned} [ABE]&=[ADE]+[DBE],\\ [DBEF]&=[FDE]+[DBE], \end{aligned}$ equality implies $[ADE]=[FDE].$ Their common base $DE$ then gives $AF\parallel DE,$ so triangles $DBE$ and $ABC$ are similar. Hence $\frac{BE}{BC}=\frac{DB}{AB}=\frac{3}{5}.$ Triangles $ABE$ and $ABC$ share the altitude from $A$ to $BC,$ so $[ABE]=(\frac{3}{5})[ABC]=6.$

Therefore, the correct answer is C.

1983 AMC 12 第 28 题

答案：C

难度评级：2340

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题