Question

若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等比数列，满足 $1\lt a\lt b\lt c$ ，且 $n\gt1$ 为整数，则 $\log_a n$ 、 $\log_b n$ 、 $\log_c n$ 组成一个数列，

If $a,$ $b,$ and $c$ are in geometric progression (G.P.) with $1\lt a\lt b\lt c$ and $n\gt1$ is an integer, then $\log_a n,$ $\log_b n,$ $\log_c n$ form a sequence

该数列为等比数列

which is a G.P.

该数列为等差数列

which is an arithmetic progression (A.P.)

该数列各项的倒数组成等差数列

in which the reciprocals of the terms form an A.P.

该数列的第二项与第三项分别是第一项与第二项的 $n$ 次幂

in which the second and third terms are the $n$ th powers of the first and second respectively

以上都不是

none of these

答案：C

知识点：对数等比数列等差数列

难度评级：2060

小提示：

取倒数，并利用 $\dfrac1{\log_a n}=\log_n a$

Take reciprocals and use $\dfrac1{\log_a n}=\log_n a$

大提示：

对等比数列关系 $b^2=ac$ 取对数

Apply logarithms to the geometric-progression relation $b^2=ac$

解答：

由换底公式， $\begin{aligned} \frac1{\log_a n}&=\log_n a,\\ \frac1{\log_b n}&=\log_n b,\\ \frac1{\log_c n}&=\log_n c \end{aligned}\text{。}$ 因为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等比数列，所以 $b^2=ac$ 。两边取以 $n$ 为底的对数，得到 $2\log_n b=\log_n a+\log_n c\text{。}$ 因此所给三项的倒数组成等差数列。

所以正确答案是 C。

By change of base, $\begin{aligned} \frac1{\log_a n}&=\log_n a,\\ \frac1{\log_b n}&=\log_n b,\\ \frac1{\log_c n}&=\log_n c. \end{aligned}$ Since $a,$ $b,$ $c$ are in geometric progression, $b^2=ac.$ Taking logarithms to base $n$ gives $2\log_n b=\log_n a+\log_n c.$ Hence the reciprocals of the three given terms form an arithmetic progression.

Therefore, the correct answer is C.

1973 AMC 12 第 28 题

答案：C

难度评级：2060

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题