Question

在三角形 $ABC$ 中， $\overline{AL}$ 平分角 $A$ ， $\overline{CM}$ 平分角 $C$ 。点 $L$ 和 $M$ 分别位于 $\overline{BC}$ 和 $\overline{AB}$ 上。三角形 $ABC$ 的三边为 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 。若 $\dfrac{AM}{MB}=k\dfrac{CL}{LB}$ ，则 $k$ 为：

In triangle $ABC,$ $\overline{AL}$ bisects angle $A$ and $\overline{CM}$ bisects angle $C.$ Points $L$ and $M$ are on $\overline{BC}$ and $\overline{AB},$ respectively. The sides of triangle $ABC$ are $a,$ $b,$ and $c.$ Then $\dfrac{AM}{MB}=k\dfrac{CL}{LB},$ where $k$ is:

$1$

$\dfrac{bc}{a^2}$

$\dfrac{a^2}{bc}$

$\dfrac cb$

$\dfrac ca$

答案：E

知识点：角平分线定理比与比例

难度评级：1300

小提示：

分别对 $CM$ 和 $AL$ 应用角平分线定理

Apply the angle bisector theorem separately to $CM$ and $AL$

大提示：

使用标准记号 $a=BC,\ b=CA,\ c=AB$

Use the standard notation $a=BC,\ b=CA,\ c=AB$

解答：

由角平分线定理， $\begin{aligned} \frac{AM}{MB}&=\frac{AC}{CB}=\frac ba,\\ \frac{CL}{LB}&=\frac{AC}{AB}=\frac bc \end{aligned}\text{。}$ 因此 $k=\frac{\frac{b}{a}}{\frac{b}{c}}=\frac ca\text{。}$

因此，正确答案是 E。

By the angle bisector theorem, $\begin{aligned} \frac{AM}{MB}&=\frac{AC}{CB}=\frac ba,\\ \frac{CL}{LB}&=\frac{AC}{AB}=\frac bc. \end{aligned}$ Therefore $k=\frac{\frac{b}{a}}{\frac{b}{c}}=\frac ca.$

Thus, the correct answer is E.

1959 AMC 12 第 28 题

答案：E

难度评级：1300

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题