Question

一个等差数列前 $n$ 项的和为 $153$ ，公差为 $2$ 。若首项为整数且 $n\gt1$ ，则 $n$ 可能取值的个数是：

The sum of $n$ terms of an arithmetic progression is $153,$ and the common difference is $2.$ If the first term is an integer, and $n\gt1,$ then the number of possible values for $n$ is:

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

答案：D

知识点：等差数列整除性因数个数

难度评级：1650

小提示：

若首项为 $a$ ，则其和为 $n(a+n-1)$

If the first term is $a,$ the sum is $n(a+n-1)$

大提示：

列出 $153=3^2\cdot17$ 的所有大于 $1$ 的约数

List the divisors of $153=3^2\cdot17$ that exceed $1$

解答：

等差数列求和公式化为 $153=n(a+n-1)\text{。}$ 因此 $n$ 必须整除 $153$ ，而每个这样的 $n$ 都给出整数 $a$ 。大于 $1$ 的约数为 $3$ 、 $9$ 、 $17$ 、 $51$ 、 $153$ ，所以共有五种可能。

因此，正确答案是 D。

The arithmetic-series formula simplifies to $153=n(a+n-1).$ Thus $n$ must divide $153,$ and every such $n$ gives an integer $a.$ The divisors greater than $1$ are $3,$ $9,$ $17,$ $51,$ and $153,$ so there are five possibilities.

Therefore, the correct answer is D.

1964 AMC 12 第 28 题

答案：D

难度评级：1650

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题