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1992 AMC 12 第 28 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

28.

令 i=−1i=\sqrt{-1}。方程 z2−z=5−5iz^2-z=5-5i 的两个根的实部之积为

Let i=−1.i=\sqrt{-1}. The product of the real parts of the roots of z2−z=5−5iz^2-z=5-5i is

−25-25

−6-6

−5-5

14\frac14

2525

答案：B
知识点：complex quadraticsquare root of a complex numberVieta
难度评级：2310
小提示：

使用求根公式，并令 21−20i=a+bi\sqrt{21-20i}=a+bi

Apply the quadratic formula and write 21−20i=a+bi\sqrt{21-20i}=a+bi

大提示：

解 a2−b2=21a^2-b^2=21 与 2ab=−202ab=-20，从而确定两个根的实部

Solve a2−b2=21a^2-b^2=21 and 2ab=−202ab=-20 to determine the real parts of the two roots

解答：

由求根公式得 z=1±21−20i2。 z=\frac{1\pm\sqrt{21-20i}}2\text{。}因为 (5−2i)2=21−20i(5-2i)^2=21-20i，所以两个根为 1+(5−2i)2=3−i,1−(5−2i)2=−2+i。 \begin{aligned} \frac{1+(5-2i)}2&=3-i,\\ \frac{1-(5-2i)}2&=-2+i \end{aligned}\text{。}它们的实部之积为 3(−2)=−63(-2)=-6。

因此正确答案是 B。

The quadratic formula gives z=1±21−20i2. z=\frac{1\pm\sqrt{21-20i}}2. Since (5−2i)2=21−20i,(5-2i)^2=21-20i, the roots are 1+(5−2i)2=3−i,1−(5−2i)2=−2+i. \begin{aligned} \frac{1+(5-2i)}2&=3-i,\\ \frac{1-(5-2i)}2&=-2+i. \end{aligned} Their real parts have product 3(−2)=−6.3(-2)=-6.

Thus the correct answer is B.

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