Question

在半径为 $1$ 的圆内部，设满足下列条件的点 $P$ 的个数为 $n$ ： $P$ 到某一直径两个端点的距离平方和为 $3$ 。则 $n$ 为：

Let $n$ be the number of points $P$ interior to the region bounded by a circle with radius $1,$ such that the sum of the squares of the distances from $P$ to the endpoints of a given diameter is $3.$ Then $n$ is:

$0$

$1$

$2$

$4$

无穷多个

infinite

答案：E

知识点：坐标几何距离公式圆

难度评级：1720

小提示：

将圆心置于原点，并取直径端点为 $(-1,0)$ 和 $(1,0)$

Place the circle at the origin with diameter endpoints $(-1,0)$ and $(1,0)$

大提示：

化简两个距离的平方和

Simplify the sum of the two squared distances

解答：

令 $P=(x,y)$ ，并取直径端点为 $(-1,0)$ 和 $(1,0)$ 。条件化为 $\begin{aligned} PA^2+PB^2&=3,\\ 2x^2+2y^2+2&=3 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $x^2+y^2=\frac{1}{2}$ 。这是一整个位于给定单位圆内部、半径为 $\frac{1}{\sqrt2}$ 的圆，包含无穷多个点。

所以正确答案是 E。

Let $P=(x,y)$ and take the diameter endpoints as $(-1,0)$ and $(1,0).$ The condition becomes $\begin{aligned} PA^2+PB^2&=3,\\ 2x^2+2y^2+2&=3. \end{aligned}$ Thus $x^2+y^2=\frac{1}{2}.$ This is an entire circle of radius $\frac{1}{\sqrt2},$ lying inside the given unit circle. It contains infinitely many points.

Therefore, the correct answer is E.

1969 AMC 12 第 28 题

答案：E

难度评级：1720

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题