Question

满足 $\begin{aligned} 0&\lt x\lt y,\\ \sqrt{1984}&=\sqrt{x}+\sqrt{y} \end{aligned}$ 的不同整数对 $(x,y)$ 的个数为

The number of distinct pairs of integers $(x,y)$ such that $\begin{aligned} 0&\lt x\lt y,\\ \sqrt{1984}&=\sqrt{x}+\sqrt{y} \end{aligned}$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

$7$

答案：D

知识点：根式完全平方数数对计数

难度评级：2380

小提示：

利用 $1984=31\cdot8^2$ ，并将两个被开方数写成具有相同无平方因子部分的形式

Use $1984=31\cdot8^2$ and write both radicands with a common squarefree part

大提示：

令 $x=31u^2,\ y=31v^2$ ，并计算满足 $u\lt v$ 且 $u+v=8$ 的正整数的组数

Set $x=31u^2,\ y=31v^2$ and count positive integers $u\lt v$ with $u+v=8$

解答：

因为 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=8\sqrt{31}$ ，两个根式必须具有相同的无平方因子部分 $31$ 。写成 $x=31u^2$ 和 $y=31v^2$ ，其中 $u,v$ 为正整数。于是 $u+v=8,\qquad u\lt v\text{。}$ 可能的情况为 $(u,v)=(1,7)$ 、 $(2,6)$ 、 $(3,5)$ ，得到三个不同的整数对 $(x,y)$ 。

所以正确答案是 D。

Because $\sqrt{x}+\sqrt{y}=8\sqrt{31},$ the two radicals must have common squarefree part $31.$ Write $x=31u^2$ and $y=31v^2$ for positive integers $u,v.$ Then $u+v=8,\qquad u\lt v.$ The possibilities are $(u,v)=(1,7),$ $(2,6),$ and $(3,5),$ producing three distinct pairs $(x,y).$

Therefore, the correct answer is D.

1984 AMC 12 第 28 题

答案：D

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题