Question

求 $\frac{y}{x}$ 的最大值，其中实数对 $(x,y)$ 满足 $(x-3)^2+(y-3)^2=6\text{。}$

Find the largest value of $\frac{y}{x}$ for pairs of real numbers $(x,y)$ which satisfy $(x-3)^2+(y-3)^2=6.$

$3+2\sqrt2$

$2+\sqrt3$

$3\sqrt3$

$6$

$6+2\sqrt3$

答案：A

知识点：圆斜率切线最优化

难度评级：2240

小提示：

将 $\frac{y}{x}$ 理解为一条过原点直线的斜率

Interpret $\frac{y}{x}$ as the slope of a line through the origin

大提示：

斜率取极值时，直线 $y=mx$ 与圆相切

At an extreme slope, the line $y=mx$ is tangent to the circle

解答：

该圆全部位于 $x\gt0$ 的区域内，所以 $\frac{y}{x}$ 是斜率 $m$ ，相应直线 $y=mx$ 经过圆上一点。取极值时，这条直线与圆相切。圆心 $(3,3)$ 到直线 $mx-y=0$ 的距离必须等于 $\sqrt6$ ，因此 $\frac{|3m-3|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt6\text{。}$ 两边平方并化简，得到 $m^2-6m+1=0$ ，所以 $m=3\pm2\sqrt2$ 。较大的值为 $3+2\sqrt2$ 。

所以正确答案是 A。

The circle lies entirely where $x\gt0,$ so $\frac{y}{x}$ is the slope $m$ of the line $y=mx$ through a point on it. At an extreme, this line is tangent. The distance from the center $(3,3)$ to $mx-y=0$ must equal $\sqrt6,$ so $\frac{|3m-3|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt6.$ Squaring and simplifying gives $m^2-6m+1=0,$ hence $m=3\pm2\sqrt2.$ The larger value is $3+2\sqrt2.$

Therefore, the correct answer is A.

1984 AMC 12 第 29 题

答案：A

难度评级：2240

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题