Question

等边三角形 $ABC$ 经过压折，使顶点 $A$ 落到点 $A'$ ，该点位于 $BC$ 上，如图所示。若 $BA'=1$ 且 $A'C=2$ ，则折痕 $PQ$ 的长度为

Equilateral triangle $ABC$ has been creased and folded so that vertex $A$ now rests at $A'$ on $BC$ as shown. If $BA'=1$ and $A'C=2,$ then the length of crease $PQ$ is

$\frac85$

$\frac7{20}\sqrt{21}$

$\frac{1+\sqrt5}{2}$

$\frac{13}{8}$

$\sqrt3$

答案：B

知识点：folding 垂直平分线坐标几何 distance

难度评级：2360

小提示：

折痕是一个点及其折叠后对应点所连线段的垂直平分线

A fold crease is the perpendicular bisector of the segment joining a point to its image

大提示：

设 $B=(0,0)$ 、 $C=(3,0)$ 、 $A=(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt3}{2})$ 、 $A'=(1,0)$

Place $B=(0,0),$ $C=(3,0),$ $A=(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt3}{2}),$ and $A'=(1,0)$

解答：

使用提示中的坐标，点 $X=(x,y)$ 的垂直平分线条件为 $|X-A|=|X-A'|$ ，化简得 $x+3\sqrt3\,y=8\text{。}$ 该直线与 $AB,\ y=\sqrt3x$ 相交于 $P=(\frac{4}{5},\frac{4\sqrt3}{5})$ ，与 $AC,\ y=\sqrt3(3-x)$ 相交于 $Q=(\frac{19}{8},\frac{5\sqrt3}{8})$ 。因此 $\begin{aligned} PQ &=\sqrt{\left(\frac{63}{40}\right)^2 +\left(\frac{7\sqrt3}{40}\right)^2}\\ &=\frac7{20}\sqrt{21} \end{aligned}\text{。}$

因此正确答案为 B。

With the coordinates in the hint, the perpendicular-bisector condition for $X=(x,y)$ is $|X-A|=|X-A'|,$ which simplifies to $x+3\sqrt3\,y=8.$ Intersecting this line with $AB,\ y=\sqrt3x,$ gives $P=(\frac{4}{5},\frac{4\sqrt3}{5}).$ Intersecting it with $AC,\ y=\sqrt3(3-x),$ gives $Q=(\frac{19}{8},\frac{5\sqrt3}{8}).$ Hence $\begin{aligned} PQ &=\sqrt{\left(\frac{63}{40}\right)^2 +\left(\frac{7\sqrt3}{40}\right)^2}\\ &=\frac7{20}\sqrt{21}. \end{aligned}$

Thus the correct answer is B.

1991 AMC 12 第 29 题

答案：B

难度评级：2360

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题