Question

大于 $(\sqrt3+\sqrt2)^6$ 的最小整数是多少？

What is the smallest integer larger than $(\sqrt3+\sqrt2)^6?$

$972$

$971$

$970$

$969$

$968$

答案：C

知识点：根式二项式定理取整函数

难度评级：1980

小提示：

将该式与其共轭式 $(\sqrt3-\sqrt2)^6$ 配对

Pair the expression with its conjugate $(\sqrt3-\sqrt2)^6$

大提示：

两式之和为整数，而共轭式的值严格介于 $0$ 与 $1$ 之间

Their sum is an integer, while the conjugate term lies strictly between $0$ and $1$

解答：

令 $\alpha=\sqrt3+\sqrt2$ 、 $\beta=\sqrt3-\sqrt2$ 。将它们的六次方相加，所有含奇次根式的项都会抵消： $\begin{aligned} \alpha^6+\beta^6 &=2\bigl(3^3+15(3^2)(2)\\ &\qquad+15(3)(2^2)+2^3\bigr)\\ &=970\text{。} \end{aligned}$ 因为 $0\lt\beta\lt1$ ，所以 $969\lt\alpha^6=970-\beta^6\lt970$ 。因此，大于它的最小整数为 $970$ 。

因此，正确答案是 C。

Let $\alpha=\sqrt3+\sqrt2$ and $\beta=\sqrt3-\sqrt2.$ Adding their sixth powers cancels all odd radical terms: $\begin{aligned} \alpha^6+\beta^6 &=2\bigl(3^3+15(3^2)(2)\\ &\qquad+15(3)(2^2)+2^3\bigr)\\ &=970. \end{aligned}$ Since $0\lt\beta\lt1,$ we have $969\lt\alpha^6=970-\beta^6\lt970.$ Thus the smallest larger integer is $970.$

Therefore, the correct answer is C.

1975 AMC 12 第 29 题

答案：C

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题