Question

设 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 是三个和为 $1$ 的正实数。若其中任何一个数都不超过另一个数的两倍，则乘积 $xyz$ 的最小可能值为

Let $x,$ $y,$ and $z$ be three positive real numbers whose sum is $1.$ If no one of these numbers is more than twice any other, then the minimum possible value of the product $xyz$ is

$\frac1{32}$

$\frac1{36}$

$\frac4{125}$

$\frac1{127}$

以上都不是

none of these

答案：A

知识点：最优化不等式极端原理

难度评级：2340

小提示：

将变量排序为 $x\le y\le z$ ；此时起作用的约束为 $z\le2x$

Order the variables $x\le y\le z$ ; then the active constraint is $z\le2x$

大提示：

最小值在边界 $z=2x$ 上取得，此时 $y=1-3x$

A minimum occurs on the boundary $z=2x,$ where $y=1-3x$

解答：

将三者排序为 $x\le y\le z$ 。取得最小值时三者的差异最大，所以 $z=2x$ ，且 $y=1-3x$ 。该顺序要求 $\frac{1}{5}\le x\le\frac{1}{4}$ 。因而 $xyz=2x^2(1-3x)$ 。它唯一的区间内部临界点是最大值点，所以比较两个端点：相应的值分别为 $\frac{4}{125}$ 和 $\frac{1}{32}$ 。最小值为 $\frac{1}{32}$ 。

因此，正确答案为 A。

Order $x\le y\le z.$ At a minimum the spread is maximal, so $z=2x$ and $y=1-3x.$ The ordering requires $\frac{1}{5}\le x\le\frac{1}{4}.$ Thus $xyz=2x^2(1-3x).$ Its only interior critical point is a maximum, so compare endpoints: the values are $\frac{4}{125}$ and $\frac{1}{32},$ respectively. The minimum is $\frac{1}{32}.$

Therefore, the correct answer is A.

1982 AMC 12 第 29 题

答案：A

难度评级：2340

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题