Question

求 $\sum_{k=0}^{49}(-1)^k\binom{99}{2k}\text{，}$ 其中 $\binom{n}{j}=\frac{n!}{j!(n-j)!}\text{。}$

Find $\sum_{k=0}^{49}(-1)^k\binom{99}{2k},$ where $\binom{n}{j}=\frac{n!}{j!(n-j)!}.$

$-2^{50}$

$-2^{49}$

$0$

$2^{49}$

$2^{50}$

答案：B

知识点：二项式定理复数单位根

难度评级：2760

小提示：

把 $(-1)^k$ 识别为 $i^{2k}$

Recognize $(-1)^k$ as $i^{2k}$

大提示：

取 $(1+i)^{99}$ 的二项式展开式的实部

Take the real part of the binomial expansion of $(1+i)^{99}$

解答：

所求和是 $(1+i)^{99}=2^{\frac{99}{2}}e^{\frac{99\pi i}{4}}$ 的实部。由于 $99\equiv3\pmod8$ ，其实部为 $\begin{aligned} 2^{\frac{99}{2}}\cos\frac{3\pi}{4} &=2^{\frac{99}{2}}\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\\ &=-2^{49} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 B。

The sum is the real part of $(1+i)^{99}=2^{\frac{99}{2}}e^{\frac{99\pi i}{4}}.$ Since $99\equiv3\pmod8,$ its real part is $\begin{aligned} 2^{\frac{99}{2}}\cos\frac{3\pi}{4} &=2^{\frac{99}{2}}\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\\ &=-2^{49}. \end{aligned}$

Thus the correct answer is B.

1989 AMC 12 第 29 题

答案：B

难度评级：2760

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题