Question

求最小整数 $n$ ，使得 $\begin{aligned} (x^2+y^2+z^2)^2 &\le{}\\[-4pt] &n(x^4+y^4+z^4) \end{aligned}$ 对所有实数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 都成立。

Find the smallest integer $n$ such that $\begin{aligned} (x^2+y^2+z^2)^2 &\le{}\\[-4pt] &n(x^4+y^4+z^4) \end{aligned}$ for all real numbers $x,$ $y$ and $z.$

$2$

$3$

$4$

$6$

不存在这样的整数 $n$

There is no such integer $n.$

答案：B

知识点：柯西-施瓦茨不等式不等式

难度评级：1870

小提示：

对三个数 $x^2$ 、 $y^2$ 、 $z^2$ 应用柯西－施瓦茨不等式

Apply Cauchy-Schwarz to the three numbers $x^2,$ $y^2,$ $z^2$

大提示：

令 $x^2$ 、 $y^2$ 、 $z^2$ 取相等的非零值，以检验界是否可取到

Use equal nonzero values of $x^2,$ $y^2,$ $z^2$ to test sharpness

解答：

由柯西－施瓦茨不等式， $\begin{aligned} (x^2+y^2+z^2)^2&\le3Q,\\ Q&=x^4+y^4+z^4 \end{aligned}\text{。}$ 当 $x^2=y^2=z^2\ne0$ 时取等号，所以更小的值都不成立。因此最小整数为 $3$ 。

因此，正确答案是 B。

By Cauchy-Schwarz, $\begin{aligned} (x^2+y^2+z^2)^2&\le3Q,\\ Q&=x^4+y^4+z^4. \end{aligned}$ Equality occurs when $x^2=y^2=z^2\ne0,$ so no smaller value can work. Thus the smallest integer is $3.$

Therefore, the correct answer is B.

1977 AMC 12 第 29 题

答案：B

难度评级：1870

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题