Question

若 $a\gt1$ ，则方程 $\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x$ 的所有实数解之和等于

If $a\gt1,$ then the sum of the real solutions of $\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x$ is equal to

$\sqrt a-1$

$\frac{\sqrt a-1}{2}$

$\sqrt{a-1}$

$\frac{\sqrt{a-1}}2$

$\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2}$

答案：E

知识点：根式二次方程分类讨论

难度评级：2040

小提示：

主值平方根迫使 $x\ge0$

The principal square root forces $x\ge0$

大提示：

平方一次后，分解一个含有 $\sqrt{a+x}-x$ 的差

After one squaring, factor a difference involving $\sqrt{a+x}-x$

解答：

由于 $x\ge0$ ，平方一次得到 $a-\sqrt{a+x}=x^2$ 。令 $y=\sqrt{a+x}$ 。则 $y=a-x^2$ ，且 $a=y^2-x$ ，所以 $0=(y+x)(y-x-1)\text{。}$ 由于 $y+x\gt0$ ，可得 $y=x+1$ ，即 $\sqrt{a+x}=x+1$ 。因此 $a+x=x^2+2x+1$ ，且 $x^2+x+1-a=0\text{。}$ 唯一的非负根为 $x=\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2}$ ，并且它满足原方程。因此它也就是所有实数解之和。

所以正确答案是 E。

Since $x\ge0,$ squaring once gives $a-\sqrt{a+x}=x^2.$ Let $y=\sqrt{a+x}.$ Then $y=a-x^2$ and $a=y^2-x,$ so $0=(y+x)(y-x-1).$ Since $y+x\gt0,$ we have $y=x+1,$ or $\sqrt{a+x}=x+1.$ Therefore $a+x=x^2+2x+1$ and $x^2+x+1-a=0.$ The only nonnegative root is $x=\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2},$ and it satisfies the original equation. It is therefore also the sum of all real solutions.

Therefore, the correct answer is E.

1981 AMC 12 第 29 题

答案：E

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题