Question

点 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 位于一个半径为 $r$ 的圆上，它们满足 $AB=AC$ 、 $AB\gt r$ ，且小弧 $\overset{\frown}{BC}$ 的长度为 $r$ 。若角以弧度为单位，则 $\frac{AB}{BC}=$

Points $A,$ $B$ and $C$ on a circle of radius $r$ are situated so that $AB=AC,$ $AB\gt r,$ and the length of minor arc $\overset{\frown}{BC}$ is $r.$ If angles are measured in radians, then $\frac{AB}{BC}=$

$\frac12\csc\frac14$

$2\cos\frac12$

$4\sin\frac12$

$\csc\frac12$

$2\sec\frac12$

答案：A

知识点：arc length chord length trigonometric identities

难度评级：2280

小提示：

小弧 $\overset{\frown}{BC}$ 所对的圆心角为 $1$ 弧度

The minor arc $\overset{\frown}{BC}$ subtends a central angle of $1$ radian

大提示：

使用弦长公式 $2r\sin(\frac{\theta}{2})$ 分别计算 $BC$ 和 $AB$

Use the chord formula $2r\sin(\frac{\theta}{2})$ for both $BC$ and $AB$

解答：

小弧 $\overset{\frown}{BC}$ 所对的圆心角为 $\frac{r}{r}=1$ ，所以 $BC=2r\sin\frac12$ 。由于 $AB=AC$ 且 $AB\gt r$ ，点 $A$ 是大弧 $BC$ 的中点。从 $A$ 到 $B$ 的较小圆心角为 $\pi-\frac12$ ，所以 $AB=2r$ $\sin\left(\frac{\pi-\frac{1}{2}}{2}\right)=2r\cos\frac14$ 。因此 $\frac{AB}{BC}=\frac{\cos(\frac{1}{4})}{\sin(\frac{1}{2})}$ $=\frac1{2\sin(\frac{1}{4})}=\frac12\csc\frac14$ 。所以正确答案是 A。

The central angle subtending minor arc $\overset{\frown}{BC}$ is $\frac{r}{r}=1,$ so $BC=2r\sin\frac12.$ Since $AB=AC$ and $AB\gt r,$ point $A$ is the midpoint of the major arc $BC.$ The minor central angle from $A$ to $B$ is $\pi-\frac12,$ so $AB=2r$ $\sin\left(\frac{\pi-\frac{1}{2}}{2}\right)=2r\cos\frac14.$ Therefore $\frac{AB}{BC}=\frac{\cos(\frac{1}{4})}{\sin(\frac{1}{2})}$ $=\frac1{2\sin(\frac{1}{4})}=\frac12\csc\frac14.$ Thus the correct answer is A.

1994 AMC 12 第 29 题

答案：A

难度评级：2280

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题