Question

数列递归定义如下： $t_1=1$ ；当 $n\gt1$ 时， $t_n=1+t_{\frac{n}{2}}$ （此时 $n$ 为偶数），而 $t_n=\frac{1}{t_{n-1}}$ （此时 $n$ 为奇数）。已知 $t_n=\frac{19}{87}$ ，则 $n$ 的各位数字之和为

Consider the sequence of numbers defined recursively by $t_1=1$ and for $n\gt1$ by $t_n=1+t_{\frac{n}{2}}$ when $n$ is even and by $t_n=\frac{1}{t_{n-1}}$ when $n$ is odd. Given that $t_n=\frac{19}{87},$ the sum of the digits of $n$ is

$15$

$17$

$19$

$21$

$23$

答案：A

知识点：recursive sequence inverse recursion rational numbers

难度评级：2440

小提示：

大于 $1$ 的数值来自偶数下标；介于 $0$ 与 $1$ 之间的数值来自奇数下标

Values greater than $1$ come from even indices; values between $0$ and $1$ come from odd indices

大提示：

反向运用递推关系：对大于 $1$ 的数值减去 $1$ ，对小于 $1$ 的数值取倒数

Reverse the recursion by subtracting $1$ from values above $1$ and taking reciprocals of values below $1$

解答：

设 $N(r)$ 表示数值 $r$ 出现时的下标。反向运用递推关系可得： $N(r)=2N(r-1)$ 适用于 $r\gt1$ ，而 $N(r)=N(\frac{1}{r})+1$ 适用于 $0\lt r\lt1$ 。

从 $N(1)=1$ 开始反复运用这些关系，得到 $N(2)=2$ 、 $N(\frac{1}{2})=3$ 、 $N(\frac{3}{2})=6$ 和 $N(\frac{2}{3})=7$ 。继续可得 $N(\frac{5}{3})=14$ 、 $N(\frac{8}{3})=28$ 、 $N(\frac{3}{8})=29$ 和 $N(\frac{11}{8})=58$ 。

接下来， $N(\frac{8}{11})=59$ 、 $N(\frac{19}{11})=118$ 、 $N(\frac{11}{19})=119$ 、 $N(\frac{30}{19})=238$ 、 $N(\frac{49}{19})=476$ ，并且 $N(\frac{68}{19})=952$ 。最后， $N(\frac{87}{19})=1904$ ，而 $N(\frac{19}{87})=1905$ 。因此 $n=1905$ ，其各位数字之和为 $1+9+0+5=15$ 。

因此，正确答案是 A。

Let $N(r)$ be the index at which the value $r$ occurs. Reversing the recursion gives $N(r)=2N(r-1)$ for $r\gt1,$ and $N(r)=N(\frac{1}{r})+1$ for $0\lt r\lt1.$

Starting with $N(1)=1,$ repeated use gives $N(2)=2,$ $N(\frac{1}{2})=3,$ $N(\frac{3}{2})=6,$ and $N(\frac{2}{3})=7.$ Continuing gives $N(\frac{5}{3})=14,$ $N(\frac{8}{3})=28,$ $N(\frac{3}{8})=29,$ and $N(\frac{11}{8})=58.$

Next, $N(\frac{8}{11})=59,$ $N(\frac{19}{11})=118,$ $N(\frac{11}{19})=119,$ $N(\frac{30}{19})=238,$ $N(\frac{49}{19})=476,$ and $N(\frac{68}{19})=952.$ Finally, $N(\frac{87}{19})=1904$ and $N(\frac{19}{87})=1905.$ Thus $n=1905,$ whose digit sum is $1+9+0+5=15.$

Therefore the correct answer is A.

1987 AMC 12 第 29 题

答案：A

难度评级：2440

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题