Question

在 $10$ 进制表示中，整数 $a$ 由连续 $1985$ 个数字八组成，整数 $b$ 由连续 $1985$ 个数字五组成。 $10$ 进制表示的整数 $9ab$ 的各位数字之和是多少？

In their base $10$ representations, the integer $a$ consists of a sequence of $1985$ eights and the integer $b$ consists of a sequence of $1985$ fives. What is the sum of the digits of the base $10$ representation of the integer $9ab?$

$15880$

$17856$

$17865$

$17874$

$19851$

答案：C

知识点：代数变形数字找规律位值

难度评级：2530

小提示：

将由 $k$ 个相同数字组成的数用 $R=\frac{10^k-1}{9}$ 表示

Write a string of $k$ identical digits using $R=\frac{10^k-1}{9}$

大提示：

去掉末尾的零后，将乘积表示为由 $2k$ 个四组成的数减去由 $k$ 个八组成的数

After removing the terminal zero, express the product as a string of $2k$ fours minus a string of $k$ eights

解答：

令 $k=1985$ ，且 $R=\frac{10^k-1}{9}$ 。则 $a=8R$ 、 $b=5R$ ，而 $9ab$ 以 $0$ 结尾。去掉这个零不改变数字和，剩下 $\begin{aligned} N=\frac{9ab}{10} &=36R^2\\ &=\frac49(10^{2k}-1)\\ &\quad{}-\frac89(10^k-1)\text{。} \end{aligned}$ 因此， $N$ 是由 $2k$ 个四组成的数减去由 $k$ 个八组成的数。相减后得到 $k-1$ 个四，再接一个 $3$ 、 $k-1$ 个五，最后接一个 $6$ 。其数字和为 $\begin{aligned} &4(k-1)+3+5(k-1)+6\\ &\quad=9k=17865\text{。} \end{aligned}$ 所以正确答案是 C。

Let $k=1985$ and $R=\frac{10^k-1}{9}.$ Then $a=8R,$ $b=5R,$ and $9ab$ ends in $0.$ Removing that zero does not change the digit sum and leaves $\begin{aligned} N=\frac{9ab}{10} &=36R^2\\ &=\frac49(10^{2k}-1)\\ &\quad{}-\frac89(10^k-1). \end{aligned}$ Thus $N$ is a string of $2k$ fours minus a string of $k$ eights. The subtraction produces $k-1$ fours, then $3,$ then $k-1$ fives, then $6.$ Its digit sum is $\begin{aligned} &4(k-1)+3+5(k-1)+6\\ &\quad=9k=17865. \end{aligned}$ Therefore the correct answer is C.

1985 AMC 12 第 29 题

答案：C

难度评级：2530

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题