Question

不等边三角形 $ABC$ 的两条高分别长 $4$ 和 $12$ 。若第三条高的长度也是整数，它最大可能是多少？

Two of the altitudes of the scalene triangle $ABC$ have length $4$ and $12.$ If the length of the third altitude is also an integer, what is the biggest it can be?

$4$

$5$

$6$

$7$

以上均非

none of these

答案：B

知识点：三角不等式高线面积 reciprocal relation

难度评级：2230

小提示：

当三角形面积固定时，每条边的长度与其对应的高成反比

For a fixed triangle area, each side is inversely proportional to its corresponding altitude

大提示：

对与 $\frac{1}{4},\frac{1}{12},\frac{1}{h}$ 成比例的三条边应用三角形不等式

Apply the triangle inequalities to side lengths proportional to $\frac{1}{4},\frac{1}{12},\frac{1}{h}$

解答：

设第三条高为 $h$ 。由于每条边的长度为公共面积的两倍除以对应的高，三条边的长度成比例于 $\frac14,\qquad\frac1{12},\qquad\frac1h\text{。}$ 两个非平凡的三角形不等式给出 $\begin{aligned} \frac1h&\lt\frac14+\frac1{12}=\frac13,\\ \frac1h&\gt\frac14-\frac1{12}=\frac16 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $3\lt h\lt6$ 。其中最大的整数为 $5$ ，而三条高互不相同，符合不等边三角形的要求。

因此正确答案是 B。

Let the third altitude be $h.$ Since each side equals twice the common area divided by its altitude, the side lengths are proportional to $\frac14,\qquad\frac1{12},\qquad\frac1h.$ The two nontrivial triangle inequalities give $\begin{aligned} \frac1h&\lt\frac14+\frac1{12}=\frac13,\\ \frac1h&\gt\frac14-\frac1{12}=\frac16. \end{aligned}$ Thus $3\lt h\lt6.$ The largest integral possibility is $5,$ and its three altitudes are distinct as required for a scalene triangle.

Therefore the correct answer is B.

1986 AMC 12 第 29 题

答案：B

难度评级：2230

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题