Question

在半径为 $5$ 个单位的圆中， $CD$ 与 $AB$ 是互相垂直的直径。弦 $CH$ 与 $AB$ 相交于 $K$ ，且长 $8$ 个单位。直径 $AB$ 被分成两段，其长度分别为：

In a circle of radius $5$ units, $CD$ and $AB$ are perpendicular diameters. A chord $CH$ cutting $AB$ at $K$ is $8$ units long. The diameter $AB$ is divided into two segments whose dimensions are:

$1.25$ ， $8.75$

$1.25,$ $8.75$

$2.75$ ， $7.25$

$2.75,$ $7.25$

$2$ ， $8$

$2,$ $8$

$4$ ， $6$

$4,$ $6$

以上答案均不正确

None of these

答案：A

知识点：圆弦坐标几何

难度评级：1760

小提示：

将圆心置于原点，取 $C=(0,5)$ ，并用坐标表示弦的另一端点 $H$

Put the center at the origin, take $C=(0,5)$ , and represent the other endpoint $H$ of the chord by coordinates

大提示：

利用 $CH=8$ 和 $OH=5$ ，再求直线 $CH$ 与水平直径的交点

Use $CH=8$ and $OH=5$ , then find where line $CH$ crosses the horizontal diameter

解答：

将圆心置于原点，取 $C=(0,5)$ ，并设 $H=(x,y)$ 。方程组 $\begin{aligned} x^2+y^2&=25,\\ x^2+(y-5)^2&=64 \end{aligned}$ 给出 $y=-\frac{7}{5}$ 和 $x=\pm\frac{24}{5}$ 。取 $x=\frac{24}{5}$ 不影响两段的长度。

从 $C=(0,5)$ 到 $H=(\frac{24}{5},-\frac{7}{5})$ 的直线与 $y=0$ 相交于 $x=\frac{15}{4}$ 处。因此，该交点到端点 $(-5,0)$ 和 $(5,0)$ 的距离如下；这两个端点构成直径 $AB$ ： $\begin{aligned} 5+\frac{15}{4}&=\frac{35}{4}=8.75,\\ 5-\frac{15}{4}&=\frac54=1.25 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Put the circle at the origin with $C=(0,5)$ and let $H=(x,y).$ The equations $\begin{aligned} x^2+y^2&=25,\\ x^2+(y-5)^2&=64 \end{aligned}$ give $y=-\frac{7}{5}$ and $x=\pm\frac{24}{5}.$ Taking $x=\frac{24}{5}$ does not change the segment lengths.

The line from $C=(0,5)$ to $H=(\frac{24}{5},-\frac{7}{5})$ crosses $y=0$ at $x=\frac{15}{4}.$ Its distances to the endpoints $(-5,0)$ and $(5,0)$ of diameter $AB$ are therefore $\begin{aligned} 5+\frac{15}{4}&=\frac{35}{4}=8.75,\\ 5-\frac{15}{4}&=\frac54=1.25. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is A.

1952 AMC 12 第 29 题

答案：A

难度评级：1760

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题