Question

有多少个整数有序三元组 $(x,y,z)$ 满足下列方程组： $\begin{aligned} x^2-3xy+2y^2-z^2&=31,\\ -x^2+6yz+2z^2&=44,\\ x^2+xy+8z^2&=100 \end{aligned}\text{？}$

How many ordered triples $(x,y,z)$ of integers satisfy the system of equations below? $\begin{aligned} x^2-3xy+2y^2-z^2&=31,\\ -x^2+6yz+2z^2&=44,\\ x^2+xy+8z^2&=100. \end{aligned}$

$0$

$1$

$2$

大于二的有限数

a finite number greater than two

无穷多个

infinitely many

答案：A

知识点：丢番图方程模运算完全平方数

难度评级：2100

小提示：

在尝试解出变量之前，先把三个方程相加

Add all three equations before trying to solve for the variables

大提示：

把所得二次型改写为两个平方之和，再模 $4$ 考察

Rewrite the resulting quadratic form as a sum of two squares and reduce modulo $4$

解答：

三个方程相加得到 $\begin{aligned} x^2-2xy+2y^2 &{}+6yz+9z^2\\ &=175 \end{aligned}\text{，}$ 即 $(x-y)^2+(y+3z)^2=175\text{。}$ 一个平方同余于 $0$ 或 $1\pmod4$ ，所以两个平方之和不可能同余于 $3\pmod4$ 。但 $175\equiv3\pmod4$ ，矛盾。因此不存在整数有序三元组。

因此，正确答案是 A。

Adding the three equations gives $\begin{aligned} x^2-2xy+2y^2 &{}+6yz+9z^2\\ &=175, \end{aligned}$ or $(x-y)^2+(y+3z)^2=175.$ A square is congruent to $0$ or $1\pmod4,$ so a sum of two squares cannot be congruent to $3\pmod4.$ But $175\equiv3\pmod4,$ a contradiction. Thus there are no integer triples.

Therefore, the correct answer is A.

1980 AMC 12 第 29 题

答案：A

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题