Question

一个六位数（ $10$ 进制）称为准平方数，如果它满足下列条件：

（i）每一位都不是零；

（ii）它是完全平方数；并且

（iii）把这个数的前两位、中间两位和后两位分别看作两位数时，它们都是完全平方数。

共有多少个准平方数？

A six digit number (base $10$ ) is squarish if it satisfies the following conditions:

(i) none of its digits is zero;

(ii) it is a perfect square; and

(iii) the first two digits, the middle two digits and the last two digits of the number are all perfect squares when considered as two digit numbers.

How many squarish numbers are there?

$0$

$2$

$3$

$8$

$9$

答案：B

知识点：数字完全平方数系统列举

难度评级：2160

小提示：

列出所有不含零的两位完全平方数

List the two-digit perfect squares having no zero digit

大提示：

用前两位把平方根限制在一个很短的区间内，再按最后两位筛选

Use the first pair to restrict the square root to a short interval, then filter by the final pair

解答：

每个两位数块都必须属于 $\{16,25,36,49,64,81\}\text{。}$ 先用前两位限制平方根，再只保留最后两位合格的平方数，可得下列可能的中间两位：

前两位	可能的中间两位
$16$	$32$ 、 $40$ 、 $48$ 、 $56$ 、 $64$ 、 $72$
$25$	$40$ 、 $50$ 、 $60$ 、 $70$ 、 $80$ 、 $90$
$36$	$48$ 、 $60$ 、 $72$ 、 $84$ 、 $96$
$49$	$56$ 、 $70$ 、 $84$ 、 $98$
$64$	$64$ 、 $80$ 、 $96$
$81$	$72$ 、 $90$

只有中间两位 $64$ 合格，由此得到 $\begin{aligned} 166464&=408^2,\\ 646416&=804^2 \end{aligned}\text{。}$ 因此共有 $2$ 个准平方数。

因此，正确答案是 B。

Each two-digit block must belong to $\{16,25,36,49,64,81\}.$ Restricting the square root by the first block and retaining only squares with an allowed final block leaves the following possible middle blocks:

first block	possible middle blocks
$16$	$32,$ $40,$ $48,$ $56,$ $64,$ $72$
$25$	$40,$ $50,$ $60,$ $70,$ $80,$ $90$
$36$	$48,$ $60,$ $72,$ $84,$ $96$
$49$	$56,$ $70,$ $84,$ $98$
$64$	$64,$ $80,$ $96$
$81$	$72,$ $90$

Only the middle block $64$ is allowed, producing $\begin{aligned} 166464&=408^2,\\ 646416&=804^2. \end{aligned}$ Thus there are $2$ squarish numbers.

Therefore, the correct answer is B.

1980 AMC 12 第 30 题

答案：B

难度评级：2160

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题