Question

一张宽 $6$ 英寸的长方形纸按图折叠，使一个角落在对边上。用角 $\theta$ 表示的折痕 $L$ 长度（英寸）为：

A rectangular piece of paper $6$ inches wide is folded as in the diagram so that one corner touches the opposite side. The length in inches of the crease $L$ in terms of angle $\theta$ is:

$3\sec^2\theta\csc\theta$

$6\sin\theta\sec\theta$

$3\sec\theta\csc\theta$

$6\sec\theta\csc^2\theta$

以上皆非

None of these

答案：A

知识点：折纸三角学直角三角形

难度评级：2270

小提示：

设长方形纸的高为 $h$ ，并利用折叠产生的相等长度

Let $h$ be the height of the rectangular sheet and use the equal lengths created by the fold

大提示：

由图可得 $\frac{6}{h}=\sin(2\theta)$ 和 $\frac{L}{h}=\sec\theta$

The diagram gives $\frac{6}{h}=\sin(2\theta)$ and $\frac{L}{h}=\sec\theta$

解答：

设纸张的高为 $h$ 。把折起的角关于折痕反射所产生的全等直角三角形给出 $\frac6h=\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta\text{，}$ 所以 $h=\frac{3}{\sin\theta\cos\theta}$ 。它们还给出 $\frac{L}{h}=\sec\theta$ 。因此 $\begin{aligned} L&=h\sec\theta\\ &=\frac{3\sec\theta} {\sin\theta\cos\theta}\\ &=3\sec^2\theta\csc\theta \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Let $h$ be the sheet’s height. The congruent right triangles created by reflecting the folded corner across the crease give $\frac6h=\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta,$ so $h=\frac{3}{\sin\theta\cos\theta}.$ They also give $\frac{L}{h}=\sec\theta.$ Hence $\begin{aligned} L&=h\sec\theta\\ &=\frac{3\sec\theta} {\sin\theta\cos\theta}\\ &=3\sec^2\theta\csc\theta. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

1972 AMC 12 第 30 题

答案：A

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题