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1974 AMC 12 第 30 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

30.

一条线段被分成两部分，使较短部分与较长部分之比等于较长部分与整条线段之比。若 RR 是较短部分与较长部分之比，则 R[R(R2+R−1)+R−1]+R−1 R^{\left[R^{\left(R^2+R^{-1}\right)}+R^{-1}\right]}+R^{-1} 的值为

A line segment is divided so that the lesser part is to the greater part as the greater part is to the whole. If RR is the ratio of the lesser part to the greater part, then the value of R[R(R2+R−1)+R−1]+R−1 R^{\left[R^{\left(R^2+R^{-1}\right)}+R^{-1}\right]}+R^{-1} is

22

2R2R

R−1R^{-1}

2+R−12+R^{-1}

2+R2+R

答案：A
知识点：二次方程指数换元法
难度评级：2100
小提示：

将分割条件写成 R=11+RR=\frac{1}{1+R}

Translate the division condition into R=11+RR=\frac{1}{1+R}

大提示：

由 R2+R=1R^2+R=1 推出 R−1=R+1R^{-1}=R+1，再从最内层指数向外化简

From R2+R=1,R^2+R=1, derive R−1=R+1R^{-1}=R+1 and simplify from the innermost exponent outward

解答：

将较长部分缩放为 11，则较短部分为 RR。由条件得 R=11+RR=\frac{1}{1+R}，所以 R2+R=1,R−1=R+1。 R^2+R=1,\qquad R^{-1}=R+1\text{。}因此 R2+R−1=R2+R+1=2。 R^2+R^{-1}=R^2+R+1=2\text{。}从内向外化简，最外层 RR 的指数变为 R R2+R−1+R−1=R2+R−1=2。 \begin{aligned} R^{\,R^2+R^{-1}}+R^{-1} &=R^2+R^{-1}\\ &=2 \end{aligned}\text{。}所以整个表达式为 R2+R−1=2R^2+R^{-1}=2。

因此，正确答案是 A。

Scale the greater part to 1,1, making the lesser part R.R. The condition gives R=11+R,R=\frac{1}{1+R}, so R2+R=1,R−1=R+1. R^2+R=1,\qquad R^{-1}=R+1. Consequently R2+R−1=R2+R+1=2. R^2+R^{-1}=R^2+R+1=2. Working outward, the exponent of the outer RR becomes R R2+R−1+R−1=R2+R−1=2. \begin{aligned} R^{\,R^2+R^{-1}}+R^{-1} &=R^2+R^{-1}\\ &=2. \end{aligned} The whole expression is therefore R2+R−1=2.R^2+R^{-1}=2.

Therefore, the correct answer is A.

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