Question

设 $ABCD$ 是一个等腰梯形，两底为 $AB=92$ 和 $CD=19$ 。假设 $AD=BC=x$ ，且一个圆的圆心在 $\overline{AB}$ 上，并与线段 $\overline{AD}$ 和 $\overline{BC}$ 都相切。若 $m$ 是 $x$ 的最小可能值，则 $m^2=$

Let $ABCD$ be an isosceles trapezoid with bases $AB=92$ and $CD=19.$ Suppose $AD=BC=x$ and a circle with center on $\overline{AB}$ is tangent to segments $\overline{AD}$ and $\overline{BC}.$ If $m$ is the smallest possible value of $x,$ then $m^2=$

$1369$

$1679$

$1748$

$2109$

$8825$

答案：B

知识点：isosceles trapezoid circle tangent to lines 最优化坐标几何

难度评级：2400

小提示：

利用对称性，使梯形两底的中点位于同一条竖直轴上，并将圆心放在 $AB$ 的中点

By symmetry, place the trapezoid with its bases centered on the same vertical axis and put the circle’s center at the midpoint of $AB$

大提示：

写出圆心到一条腰的距离，并要求切点在线段上；最小值出现在切点恰为端点的情形

Write the distance from the center to a leg and require the tangency point to lie on the leg segment; the minimum occurs at an endpoint case

解答：

取 $A=(-46,0)$ 、 $B=(46,0)$ 、 $D=(-\frac{19}{2},h)$ ，且 $C=(\frac{19}{2},h)$ 。由对称性，圆心必为 $O=(0,0)$ 。每条腰的水平位移为 $\frac{73}{2}$ ，所以 $x^2=h^2+\left(\frac{73}{2}\right)^2\text{。}$ 从 $O$ 向腰作垂线，当垂足到达上端点时，它才首次落在线段上；这个临界条件为 $OD\perp AD$ 。因此 $\begin{aligned} (-\frac{19}{2},h)\cdot(\frac{73}{2},h)&=0,\\ h^2&=\frac{1387}{4} \end{aligned}\text{。}$ 所以 $m^2=\frac{1387+5329}{4}=1679\text{。}$

因此正确答案是 B。

Place $A=(-46,0),$ $B=(46,0),$ $D=(-\frac{19}{2},h),$ and $C=(\frac{19}{2},h).$ Symmetry forces the circle’s center to be $O=(0,0).$ The horizontal offset along each leg is $\frac{73}{2},$ so $x^2=h^2+\left(\frac{73}{2}\right)^2.$ The perpendicular from $O$ to a leg first has its foot on the segment when the foot reaches the upper endpoint; this boundary condition is $OD\perp AD.$ Thus $\begin{aligned} (-\frac{19}{2},h)\cdot(\frac{73}{2},h)&=0,\\ h^2&=\frac{1387}{4}. \end{aligned}$ Therefore $m^2=\frac{1387+5329}{4}=1679.$

Thus the correct answer is B.

1992 AMC 12 第 30 题

答案：B

难度评级：2400

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题