Question

在所附图形中，线段 $AB$ 与 $CD$ 平行，角 $D$ 的度数是角 $B$ 的两倍，线段 $AD$ 和 $CD$ 的长度分别为 $a$ 和 $b$ 。则 $AB$ 的长度等于：

In the accompanying figure, segments $AB$ and $CD$ are parallel, the measure of angle $D$ is twice that of angle $B,$ and the measures of segments $AD$ and $CD$ are $a$ and $b,$ respectively. Then the measure of $AB$ is equal to:

$\tfrac12a+2b$

$\tfrac32b+\tfrac34a$

$2a-b$

$4b-\tfrac12a$

$a+b$

答案：E

知识点：角平分线平行线等腰三角形平行四边形

难度评级：2190

小提示：

平分角 $D$ ，并设角平分线与 $AB$ 交于 $P$

Bisect angle $D$ and let the bisector meet $AB$ at $P$

大提示：

追角可知 $\triangle APD$ 为等腰三角形，而 $PBCD$ 为平行四边形

Angle chasing makes $\triangle APD$ isosceles, while $PBCD$ is a parallelogram

解答：

设 $\angle D$ 的角平分线与 $AB$ 交于 $P$ 。因为 $\angle D=2\angle B$ ，所以每一半都等于 $\angle B$ 。又因为 $AB\parallel CD$ ，内错角 $\angle APD$ 也等于 $\angle PDC$ 。因此三角形 $APD$ 为等腰三角形，并且 $AP=AD=a\text{。}$ 此外， $PB\parallel CD$ ，且 $BC\parallel PD$ ，所以 $PBCD$ 是平行四边形。因此 $PB=CD=b$ 。所以 $AB=AP+PB=a+b\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Let the bisector of $\angle D$ meet $AB$ at $P.$ Because $\angle D=2\angle B,$ each half has measure $\angle B.$ Since $AB\parallel CD,$ the alternate interior angle $\angle APD$ also equals $\angle PDC.$ Thus triangle $APD$ is isosceles and $AP=AD=a.$ Also $PB\parallel CD$ and $BC\parallel PD,$ so $PBCD$ is a parallelogram. Hence $PB=CD=b.$ Therefore $AB=AP+PB=a+b.$

Therefore, the correct answer is E.

1970 AMC 12 第 30 题

答案：E

难度评级：2190

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题