Question

已知 $0\le x_0\lt1$ 。对所有整数 $n\gt0$ ，定义 $x_n= \begin{cases} 2x_{n-1},&\text{若 }2x_{n-1}\lt1,\\ 2x_{n-1}-1,&\text{若 }2x_{n-1}\ge1 \end{cases}\text{。}$ 有多少个 $x_0$ 满足 $x_0=x_5$ ？

Given $0\le x_0\lt1,$ let $x_n= \begin{cases} 2x_{n-1},&\text{if }2x_{n-1}\lt1,\\ 2x_{n-1}-1,&\text{if }2x_{n-1}\ge1 \end{cases}$ for all integers $n\gt0.$ For how many $x_0$ is it true that $x_0=x_5?$

$0$

$1$

$5$

$31$

无穷多个

infinitely many

答案：D

知识点：iteration fractional part modular equation

难度评级：2380

小提示：

每一步都取前一项两倍的小数部分。

Each step takes the fractional part of twice the preceding value

大提示：

因此 $x_5$ 是 $32x_0$ 的小数部分。

Thus $x_5$ is the fractional part of $32x_0$

解答：

递推关系为 $x_n=\{2x_{n-1}\}$ ，所以 $x_5=\{32x_0\}$ 。等式 $x_5=x_0$ 要求 $32x_0-x_0=\lfloor32x_0\rfloor\text{，}$ 因而 $31x_0$ 是整数。值 $x_0=\frac{k}{31}$ 在 $k=0$ 、 $1$ 、 $\ldots$ 、 $30$ 时都满足递推关系并位于 $[0,1)$ 内。共有 $31$ 个值。因此正确答案是 D。

The recurrence is $x_n=\{2x_{n-1}\},$ so $x_5=\{32x_0\}.$ The equality $x_5=x_0$ requires $32x_0-x_0=\lfloor32x_0\rfloor,$ hence $31x_0$ is an integer. The values $x_0=\frac{k}{31}$ for $k=0,$ $1,$ $\ldots,$ $30$ all satisfy the recurrence and lie in $[0,1).$ There are $31$ values. Thus the correct answer is D.

1993 AMC 12 第 30 题

答案：D

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题